逻辑学(北大精品课)05

主讲人：何向东--进入--第五章模态逻辑第一节模态逻辑2020年4月4日星期六3模态和模态词模态：指事物或认识的必然性和可能性等这类性质。模态在思维中的反映，表现为一定的认识和观念，便形成了相应的模态概念。模态词：语言中用以表示模态或模态概念的语词或符号。如：汉语中的“必然性”、“可能性”，英语中的单词“necessity”、“possible”。模态算子：通常用人工语言符号“□”和“◇”来分别表示必然性和可能性，这些人工符号在模态推理中被称为模态算子。2020年4月4日星期六4模态的分类模态按照不同的标准，可分为从物的模态和从言的模态；或客观模态和主观模态；或狭义模态和广义模态。从物的模态：关于事物本身的模态。例如：9必然大于7。从言的模态：关于命题的模态。例如：“9大于7”是必然的。客观模态：客观存在的必然性和可能性等性质。例如：飞机的速度不可能超过光速。主观模态：认识中的确定性或不确定性等这类性质。例如：香格里拉可能就在中国的云南省。狭义模态：必然性与可能性等性质。狭义模态又叫真势模态。广义模态：认识和事物中的其他性质。如:知道等认知模态。2020年4月4日星期六5模态形式模态形式：研究含有模态词的思维逻辑形式。它是在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分而形成的逻辑形式。下列模态命题均有对应的逻辑形式：(6)如果今天下雨，那么今天下雨或刮风是可能的(5)如果下雨，那么地上必然会湿。(4)明天可能不会下雨。(3)明天可能是晴天。(2)事物静止必然不是绝对的。(1)物体运动必然产生能量。模态命题的形式模态命题□p□p◇p◇pP→□qP→◇(p∨q)2020年4月4日星期六6四种基本的模态命题在命题p和p上增加必然算子□和可能算子◇,可得到四种基本的模态命题：可能命题模态命题必然命题必然肯定命题(□p)可能肯定命题(◇p)必然否定命题(□p)可能否定命题(◇p)2020年4月4日星期六7模态推理以模态命题为前提或结论的推理叫做模态推理。例如:（1）患阑尾炎但肚子不痛是不能的,所以患阑尾炎则肚子痛是必然的。（2）如果小张是党员干部，那么他必然是党员；小张是党员干部。所以，他必然是党员。其推理形式分别为：（1′）◇(p∨q)→□（P→q）（2′）（P→□q）∧P→□q模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学，目的在于得到有效的模态推理形式。相应于经典的命题逻辑和谓词逻辑，模态逻辑也可分为模态命题逻辑和模态谓词逻辑。从逻辑史来看，模态逻辑又可分传统模态逻辑和现代模态逻辑。2020年4月4日星期六8传统模态逻辑的对当方阵下反对差等差等□p□p◇p◇p矛盾盾矛反对2020年4月4日星期六9传统模态逻辑的对当方阵由对当关系方阵，可得四种基本模态命题之间的真值关系：（1）矛盾关系：□p与◇p、□p与◇p不能同真，也不能同假。（2）反对关系：□p与□p不可同真，但可同假。（3）下反对关系：◇p与◇p不可同假，但可同真。（4）差等关系：□p真则◇p真；◇p假则□p假；□p假则◇p真假不定；◇p真则□p真假不定。□p与◇p也有这种关系。2020年4月4日星期六10传统模态逻辑的对当推理矛盾关系对当推理：（1）□p├┤◇p；（2）□p├┤◇p（3）◇p├┤□p；（4）◇p├┤□p反对关系对当推理：（5）□p├□p；（6）□p├□p下反对关系对当推理：（7）◇p├◇p；（8）◇p├◇p差等关系对当推理：（9）□p├◇p；（10）□p├◇p（11）◇p├□p；（12）◇p├□p2020年4月4日星期六11模态对当推理的应用实例（1）“罪犯必然有犯罪时间”（□p）为真，可得：“罪犯必然无犯罪时间”（□p）为假；“罪犯可能有犯罪时间”（◇p）为真；“罪犯可能无犯罪时间”（◇p）为假。（2）“并非明天必然下雪”（□p）等值于“明天可能不下雪”（◇p）（3）“并非他必然不被当选”（□p）等值于“他可能被当选”（◇p）2020年4月4日星期六12模态六角图□p反对□p差差矛矛差差pp盾矛等等盾盾等◇p下反对◇p等2020年4月4日星期六13实然命题与必然命题、可能命题间的推理经典逻辑中不含模态词的命题叫实然命题。从六角图可以得到如下有效推理：（1）□p├p（2）p├◇p（3）□p├p（4）p├◇p（5）◇p├p（6）p├□p（7）◇p├p（8）p├□p2020年4月4日星期六14实然命题与必然命题、可能命题间的推理(1)——(8)的推理式体现了结论从弱原则：结论的模态不能强于前提的模态，即必然强于实然，实然强于可能(或然)。故上述推理可以简化为：（9）□p├p├◇p（10）□p├p├◇p（11）◇p├p├□p（12）◇p├p├□p根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假：（13）p├◇p├□p（14）p├◇p├□p（15）p├□p├◇p（16）p├□p├◇p六角图2020年4月4日星期六15直言模态命题根据“必然”、“可能”这两个模态词和A、E、I、O四种基本直言命题的组合，得到八种基本的直言模态命题：1、必然全称肯定命题(□SAP)；2、必然全称否定命题(□SEP)；3、必然特称肯定命题(□SIP)；4、必然特称否定命题(□SOP)；5、可能全称肯定命题(◇SAP)；6、可能全称否定命题(◇SEP)；7、可能特称肯定命题(◇SIP)；8、可能特称否定命题(◇SOP)；2020年4月4日星期六16直言模态方阵图其中，箭头直线为差等关系线，无箭头直线为矛盾关系线，上虚线为反对关系线，下虚线为下反对关系线。◇SOP◇SIP◇SEP◇SAP□SOP□SIP□SEP□SAP2020年4月4日星期六17直言模态方阵图的有效推理1、根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有：（1）□SAP├┤◇SOP例如：所有的结果都必然有原因├┤不可能有的结果没有原因（2）□SEP├┤◇SIP例如：所有的动物必然不是植物├┤不可能有的动物是植物（3）□SIP├┤◇SEP例如：有的大学生必然是党员├┤不可能所有的大学生都不是党员（4）□SOP├┤◇SAP例如：有的青年必然不是干部├┤不可能所有的青年都是干部2020年4月4日星期六18直言模态方阵图的有效推理1、根据直言模态命题之间的矛盾关系得出的等值式有：（5）◇SAP├┤□SOP例如：所有的人的本性可能都是善良的├┤并非有的人的本性必然是不善良的（6）◇SEP├┤□SIP例如：甲班所有的同学可能都不是学生会干部├┤并非甲班有的同学必然是学生会干部（7）◇SIP├┤□SEP例如：有的大一学生可能英语过了六级├┤并非所有的大一学生必然英语没有过六级（8）◇SOP├┤□SAP例如：有的干部可能没有上过大学├┤并非所有的干部都必然上过大学2020年4月4日星期六19直言模态方阵图的有效推理2、根据直言模态命题之间的差等关系得出的蕴涵式有：（9）□SAP├□SIP（10）□SEP├□SOP（11）□SAP├◇SAP（12）□SEP├◇SEP（13）□SIP├◇SIP（14）□SOP├◇SOP（15）◇SAP├◇SIP（16）◇SEP├◇SOP2020年4月4日星期六20直言模态方阵图的有效推理3、根据直言模态命题之间的反对关系得出的蕴涵式有：（17）□SAP├□SEP（18）□SEP├□SAP4、根据直言模态命题之间的下反对关系得出的蕴涵式有：（19）◇SIP├◇SOP（20）◇SOP├◇SIP2020年4月4日星期六21现代模态逻辑的产生罗素和怀特海建立的经典命题演算中，有一些实质蕴涵的定理，如：(1)p→(p→q)(等值于(p∧p)→q)；(2)p→(q→p)(等值于q→(p∨p))这个定理的分别是说：“假命题蕴涵任何命题”、“真命题被任何命题所蕴涵”。这就是古典命题逻辑中的实质蕴涵怪论。美国逻辑学家刘易斯（I.Lewis）通过对实质蕴涵→的批评，提出了严格蕴涵，以突出条件命题前、后件的必然导致关系：pq=df◇(p∧q)或pq=df□(p→q)在此基础上建立了模态命题逻辑系统S1—S5，开创了现代模态逻辑。严格蕴涵就是具有必然性的实质蕴涵，是在经典命题演算的基础增加模态算子□或◇得到的。现代模态逻辑的特点：（1）它是符号化和公理化的，表现为一些形式系统。（2）它是经典逻辑加上一个模态算子的扩张。（3）它将传统模态逻辑的范围大大拓宽，是一种广义的模态逻辑。2020年4月4日星期六22模态命题的自然推理系统TN一、初始符号：（1）命题变元：NP系统所有命题变元；（2）一元算子：，□；（3）二元算子：∧，∨，→，；（4）辅助符号：（，）。二、形成规则：（1）任一命题变元是合式公式；（2）若A是合式公式，则A、□A也是合式公式；（3）若A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B、AB是合式公式；（4）只有（1）—（3）构成的符号串是合式公式。2020年4月4日星期六23模态命题的自然推理系统TN三、定义：（1）D◇：◇A=df□A；（2）D：AB=df□(A→B)；（3）D=：A=B=df（AB）∧（BA）。四、推导规则（1）NP系统的所有推出规则；（2）□+(必然引入规则)：从定理A可推出□A；（3）□_(必然消去规则)：从□A可推出A；（4）□M(必然分离规则)：从□(A→B)和□A可推出□B，即从□(A→B)可推出□A→□B。2020年4月4日星期六24自然推理系统TN的定理A是TN的定理，当且仅当A能仅由TN系统的推导规则推出。或者说，有一个无假设（前提为空集φ）的自然推理以A为其中一项。可记为：├TNAA→B是TN的定理，当且仅当从A和原前提集出发，由TN系统的推导规则能推出B。可简记为：├TNA→B或A├TNB2020年4月4日星期六25自然推理系统TN的语法推出关系T1：□A├A证明：(1)□AA(2)A(1),□_T2：A├◇A证明：(1)AA(2)◇AH(_的假设)(3)◇A(2),+(4)□A(3),D◇(5)A(4),□_(6)A∧A(1),(5),∧+(7)◇A(2)—(6),_(消去H)T3：A├□A证明：由T2据D◇即得。2020年4月4日星期六26自然推理系统TN的语法推出关系T4：◇（A∧B）├◇A∧◇B证明：（1）◇（A∧B）A（2）A∧BH1(→＋的假设)（3）A（2）,∧－（4）A∧B→A（2）—（3）,→＋（消去H1）（5）□(A∧B→A)（4）,□＋（6）□(A→（A∧B))（5）,R.P.（7）□A→□（A∧B)（6）,□M（8）□(A∧B)→□A（7）,R.P.（9）◇（A∧B）→◇A（8）,D◇（10）◇A（1）,（9）,→－（11）A∧BH2（12）B（11）,∧－2020年4月4日星期六27（10）◇A（1）,（9）,→－（11）A∧BH2(→＋的假设)（12）B（11）,∧－（13）A∧B→B（11）—（12）,→＋（消去H2）（14）□(A∧B→B)（13）,□＋（15）□(B→（A∧B)）（14）,R.P.（16）□B→□（A∧B)（15）,□M（17）□(A∧B)→□B（16）,R.P.（18）◇（A∧B）→◇B（8）,D◇（19）◇B（1）,（18）,→－（20）◇A∧◇B（10）,（19）,∧＋2020年4月4日星期六28自然推理系统TN的语法推出关系T5:AB├(BA)→(AC)证明:(1)ABA(2)□(A→B)(1),D(3)A→BH1(→＋的假设)(4)AH2(→＋的假设)(5)B（3）,（4）,→－(6)B→CH3(→＋的假设)(7)C（5）,（6）,→－(8)A→C（4）—（7）,→＋（消去H2）(9)(B→C)→(A→C)（6）—（8）,→＋（消去H3）(10)(A→B)→((B→C)→(A→C))（3）—（9）,→＋（消去H1）(11)□