高职高考数学复习--2.2-均值定理

2.2均值定理【复习目标】1.掌握均值定理.2.会用均值定理求最值.3.会解不等式的应用题.【知识回顾】1.均值定理𝒂+𝒃𝟐≥𝒂𝒃,其中a,b∈R+,当且仅当a=b时取等号.2.利用均值定理求最值(1)最小值.①a0,b0;②ab是定值;③当且仅当a=b时.a+b有最小值2𝒂𝒃.(2)最大值.①a0,b0;②a+b是定值;③当且仅当a=b时.a·b有最大值(𝒂+𝒃𝟐)2.【说明】注意运用均值定理求最值时条件缺一不可,记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.【例题精解】【分析】两题显然都可以用均值定理求解.【解】(1)xy≤(𝒙+𝒚𝟐)2=(𝟖𝟐)2=16,当且仅当x=y=4时,xy有最大值16.(2)x+y≥2𝒙𝒚=2𝟗=6,当且仅当x=y=3时,x+y取最小值6.【点评】①若x,y∈R+,且x+y=k(常数),则xy≤(𝒌𝟐)2;②若x,y∈R+,且xy=k(常数),则x+y≥2𝒌.【例1】(1)如果x0,y0,x+y=8,则xy的最大值是;(2)如果x0,y0,xy=9,则x+y的最小值是.【分析】x(8-2x)=2x(4-x),由于x+(4-x)=4为定值,且依题意有x0,4-x0,故可用均值定理,求最值.【解】∵0x4∴x0,4-x0x(8-2x)=2x(4-x)≤2(𝒙+𝟒−𝒙𝟐)2=8当且仅当x=4-x,即x=2时,x(8-2x)取最大值8.【例2】当0x4时,求x(8-2x)的最大值.302.xyxx【例3】当时,求函数的最小值30(2)()6330,22(2)()26,3632,26.2xxxxyxxxxxxyxxx【分析】当时,为定值，故可用均值定理求最值.【解】∵当且仅当即当时，函数取最小值2【例4】当x1时,求函数y=x+𝟏𝒙−𝟏的最小值.【分析】y=x+𝟏𝒙−𝟏=x-1+𝟏𝒙−𝟏+1,由于(x-1)×𝟏𝒙−𝟏=1为定值,且依题知x-10,故可用均值定理求最值.【解】∵x1∴x-10y=x+𝟏𝒙−𝟏=x-1+𝟏𝒙−𝟏+1≥2(𝒙−𝟏)×𝟏𝒙−𝟏+1=3当且仅当x-1=𝟏𝒙−𝟏,即x=2时,y=x+𝟏𝒙−𝟏取最小值3.【同步训练】【答案】C一、选择题1.如果x0,y0,x+y=4,则xy的最大值是()A.2B.3C.4D.5【答案】D2.如果x0,y0,xy=16,则x+y的最小值是()A.5B.6C.7D.8【答案】D3.如果x≠0,则2x2+𝟔𝒙𝟐的最小值是()A.12B.24C.2𝟑D.4𝟑【答案】C4.如果a0,b0,a+b=7.则ab的最大值为（）774949A.B.C.D.4242【答案】D5.如果a0,b0,ab=18.则a+b的最小值为（）A.23B.32C.43D.62【答案】A6.0,0,A.2B.4C.6D.8ababba如果则的最小值为【答案】B7.若2x+y=6,且x0,y0,则xy的最大值是()A.3B.C.4D.5【答案】D8.已知0x8,则x(8-x)的最大值是()A.7B.12C.15D.16【答案】B69.4(0,)A.26B.46C.23D.43yxx函数在区间内的最小值是【答案】B69.4(0,)A.26B.46C.23D.43yxx函数在区间内的最小值是【答案】C810.25(0,)A.9B.11C.13D.15yxx函数在区间内的最小值是22511.0112.02413.03214.05(5-)3115.0()aaaxyxxxyxxxyxxxxxfxx二、填空题如果，则已知，函数的最小值是已知，函数的最小值是已知，函数的最大值是已知，函数的最小值是10224322541三、解答题16.已知x0,求x+𝟖𝒙-2的最小值,并求此时x的取值.【解】∵x0∴x+𝟖𝒙-2≥2𝒙·𝟖𝒙-2=4𝟐-2当且仅当x=𝟖𝒙,即x=2𝟐时,x+𝟖𝒙-2有最小值,最小值为4𝟐-2.917.-4-74.xyxxx当时，求函数的最小值，并求此时的取值-4,40,9974114492(4)1123115494,49-175.4xxyxxxxxxxxxyxx【解】当且仅当即时,的最小值为18.043(12-3).xyxxx当时，求函数的最大值，并求此时的取值204,0,40,31233(123)()36,23123,23(12-3)36.xxxxxyxxxxxyxx【解】当且仅当即当时，的最大值为