不定积分求解方法毕业论文设计

学号14121401576HunanInstituteofScienceandTechnology本科毕业论文题目：关于不定积分解题思路的探讨作者何宇届别2017系别数学学院专业数学与应用数学指导教师罗德仁职称讲师完成时间2017年5月关于不定积分解题思路的探讨Ontheresolvingideaofindefiniteintegral专业:数学与应用数学作者:何宇指导老师:罗德仁湖南理工学院数学学院二○一七年五月岳阳湖南理工学院本科毕业论文I摘要不定积分是求定积分的基础,在一元微积分学中占有重要地位.学好不定积分,对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助.求解不定积分常用的方法主要有:基本公式法,换元积分法,分部积分法,有理函数的积分法.如何快速找到解题的突破口,灵活使用各类方法是关键.我们从被积函数的特点出发,从易到难,对不定积分进行多角度的观察和分析,比较各类积分法,发现和总结规律,提高不定积分解题能力.关键词:不定积分;基本公式法;换元积分法;分部积分法;有理函数的积分法湖南理工学院本科毕业论文IIAbstractIndefiniteintegralisthefoundationofdefiniteintegral,itoccupiesanimportantpositioninunitarydifferentialcalculus.Graspthesolvingmethodsofindefiniteintegralishelpingtoderivativeandotherrelevantknowledge.Severalmethodsofsolvingindefiniteintegralarefrequentlyused,suchasbasicformulamethod,changethevariable,integrationbyparts,primitivesofrationalfunctions.Whatmattersishowtoquicklyfindtheideasofsubjectandflexiblyusevariousmethod.Weobservedandanalysisedtheindefiniteintegralmulti-angle,onthecharacteristicsofintegrand,fromsimpletodifficult,comparevariousmethods,sumupthelaws,improvesolvingabilityoftheindefiniteintegralproblem.Keywords:indefiniteintegral;basicformulamethod;changethevariable;integrationbyparts;integrationbypartsprimitivesofrationalfunctions湖南理工学院本科毕业论文目录摘要..................................................................IAbstract.................................................................II0引言...................................................................11原函数与不定积分.......................................................11.1原函数存在定理....................................................11.2不定积分的定义....................................................22不定积分的计算方法.....................................................22.1基本公式法........................................................22.1.1不定积分线性运算法则...........................................22.1.2基本积分公式及基本公式法.......................................32.2第一换元积分法....................................................42.2.1观察法和联合“凑”微分.........................................42.2.2多次“凑”微分.................................................62.3第二换元积分法....................................................62.3.1根式代换法.....................................................72.3.2三角代换法.....................................................72.3.3倒代换法.......................................................82.4分部积分法........................................................92.4.1幂三指两两相乘u,v的选取........................................92.4.2幂对反两两相乘u,v的选取.......................................102.5有理函数的积分...................................................122.5.1六个基本积分..................................................122.5.2待定系数法....................................................13参考文献................................................................15湖南理工学院本科毕业论文第1页,共15页0引言不定积分与定积分构成一元函数积分学.现实中许多问题,如:已知加速度求速度;已知速度求路程等都与不定积分有关,这些求导的逆运算便是不定积分的求解.首先第1章第1节我们利用变上限积分的定义和积分第一中值定理,证明原函数的存在定理,1.2节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系.第2章在给出不定积分各类解题方法的基础上,就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨.1原函数与不定积分1.1原函数存在定理定义1.1设函数()Fx与()fx区间I上都有定义.若()(),,FxfxxI(1.1)则称()Fx为()fx在I区间上的一个原函数.定义1.2设()fx在,ab上可积,由可积的充要条件可知,对任意的,,xab()fx在,ax上也可积,定义变上限积分()()(),xadxftdtfxdx,.xab(1.2)定理1.1若()fx在,ab上连续,则由上式（1.1）所定义的函数在,ab上处处可导,有()()(),xadxftdtfxdx,.xab(1.3)证对任一确定的,,xab当0xx且,xxab时,由上式和积分第一中值,存在使得1()(),xxxftdtfxxxx01.(1.4)因()fx在x处连续,故有湖南理工学院本科毕业论文第2页,共15页00()limlim()().xxxfxxfxx(1.5)由x的任意性,知()x是()fx在,ab上的原函数.1.2不定积分的定义定义1.3函数()fx在区间I上的全体原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记作(),fxdx(1.6)其中称为积分号,()fx为被积函数,()fxdx为被积表达式,x为积分变量,(1.6)在使用时要看成一个整体.由定义3可知，不定积分和原函数是个体和总体的关系,即如果()Fx为()fx的一个原函数那么()fx的不定积分是一个函数族{()},FxC其中C为任意常数,记作()().fxdxFxC(1.7)不难发现,()=()(),fxdxFxCfx(1.8)()()().dfxdxdFxCfxdx(1.9)显然,“存在原函数”和“存在不定积分”说法是一样的.2不定积分的计算方法2.1基本公式法2.1.1不定积分线性运算法则我们平时做题都会发现,求导相对求原函数要简单很多.因为导数的定义具有构造性,而原函数的定义只告诉我们,它的导数恰好等于某个已知的函数,并没有给出由已知函数求原函数的具体形式和途径.下面先讲述怎样由导数线性运算法则来求不定积分的线性运算法则:定理2.1函数()fx和()gx在区间I上都存在原函数,12,cc为任意常数，则湖南理工学院本科毕业论文第3页,共15页12()()cfxcgx在I上也存在原函数,且当12,cc不同为零时,有1212()()()().cfxcgxdxcfxdxcgxdx(2.1)证由导数的基本性质可知121212()()()()()().cfxdxcgxdxcfxdxcgxdxcfxcgx2.1.2基本积分公式及基本公式法上表便是常用的积分公式.如果遇到被积函数和公式里的一样,便可以直接利用公式;但很多时候我们遇到的被积函数有所变化,这时我们要将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算.我们将这种方法称为积分基本公式.例1求4dxxx.分析:被积函数显然是一个幂函数,通过化简便能利用积分公式直接求解.解4dxxx54xdx514514xC144xC44Cx.例2求11()11xxdxxx.分析:被积函数是两个带根号的分式,并且两个分母不同,但我们观察可以发现幂函数adxaxC11aaxxdxCaa为常数,a-1指数函数xxedxeC1lnxxadxaCaa0,a1三角函数sincosxdxxCcossinxdxxC2sectanxdxxC2csccotxdxxCsectansecxxdxxCcsccotcscxxdxxC对数及反三角函数1ln||dxxCx21arcsinxdxCaax2211arctanxdxCaxaa湖南理工学院本科毕业论文第4页,共15页(1)(1)xx的乘积恰好是21x,这不正好是我们积分公式里21dxax的形式吗?因此可将分子分母同乘一个数再化简求解.解11()11xxdxxx2222(1)(1)()11xxdxxx2(1)(1)1xxdxx221dxx2arcsinxC.求解不定积分的基本思路是:先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算,然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解.2.2第一换元积分法定理2.2设()(),()fuduFuCux是可微函数,则(())()(()).fxxdxFxC(2.2)上面求不定积分的方法称之为第一换元法,也叫“凑”微分法.运用公式(2.2)