史上最全的数列知识体系

指读声读大声读第1页（共13页）数列知识体系一、数列概念类及其简单应用：1、数列定义：一定顺序的一列数。注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。2、等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。注：常数，即与n无关的数字。二、数列类型的判断：等差数列判断方法：（1）1nnnaad（2）（2）112nnnaaa（3）An+Bna（4）2nSAnBn等比数列判断方法：（1）1(0)nnnaqqa（2）（2）211nnnaaa（3）n-1n1qkq(0)nnaaaq或（4）nk+kqqnS（不为0或1）三、通项公式的求法：数列的通项公式研究的是数列的通项na（代表项）与序号n之间的函数关系fnna。类型一：若给出一般数列的某几项或无穷项11111234（），，，...；类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法类型三：已知数列nS与n一个函数关系。递推法（注意na的表示形式，思考是否需要分类表示）11,1,2nnnanassn类型四：已知此数列的递推关系（1nnaa与的关系）1nnaafn的形式，求na。累加法类型五：已知此数列的递推关系（1nnaa与的关系）为1nnaafn的形式，求na。累乘法类型六：已知此数列的递推关系为1()nnapafnpq（、为常数）等的形式，求na。构造法1(1)32;nnaa1(2)321;nnaan1(3)33;nnnaa1(4)3321;nnnaan类型七：已知此数列的递推关系为11nnnnkaapaqapq（、为常数）等的形式，求na。构造法11111111nnnnnnnnnnnnnnnnkaapaqapqkaapaqakaaaaaaaa类型八：已知此数列的递推关系为1nnnpaakam等的形式，求na。取倒数法指读声读大声读第2页（共13页）11111nnnnnnnnpakammkakamapaaap四、前n项和的求法：123sfnnnaaaa。类型一：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法类型二：.若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法类型四：na分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n(n+1)或1n+1nnn+1裂项相消法类型五：12-1nnaaaa可以使用倒序相加：类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。如：1123456(1)nn五、等差、等比中项及角标性质和相关问题：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即GbaG，也即abG2。对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。对于等比数列na，若qpmn，则nmpqaaaa对于等差数列na，232,,,kkkkkSSSSS，是等差数列；nSn是等差数列对于等比数列na，232,,,kkkkkSSSSS，是等比数列六、等差、等比数列中的知三求二：在等差或者等比数列中，用各种公式可以实现1ndnnaqaS、（）、、、中的知三求二七、等差数列中独有的问题：类型一：求数列中sn的最大（小）值以及此时对应的序号n的值。在等差数列中，因为其前n项和可以看成是一个关于序号n的不带常数项的二次函数，我们可以“借用”函数的观点来研究当sn取得最大（小）值时的一系列问题。类型二：等差数列“奇数项和、偶数项和”的相关问题1(2):;(21).1奇奇偶偶奇奇偶偶kkkSankSSkdSaSknkSSaSk若数列的项数为偶数设，则；若数列的项数为奇数设，则：；细说各部分及题型：二．数列定义与性质指读声读大声读第3页（共13页）递推公式：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.1.已知数列na满足113a，1(1)2nnnaa（n≥2），则5a.2.已知数列na满足112a，111nnaa（n≥2），则6a.1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，，成等差数列2Axy前n项和11122nnaannnSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和下标成等差数列且公差为m的项*2,,,,Nmkaaamkmkk组成公差为md的等差数列。[来源:学科网]例：已知等差数列na中（1）已知1885aa，求111032aaaa（2）已知278136aaaa，求69aa（3）已知45076543aaaaa求82aa（4）已知14812152aaaaa，求313aa的值（2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT（5）n)2da(n2dS12nna为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）nS的最值利用二次函数配方法求得最值时n的值即可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.(6)项数为偶数n2的等差数列na，记等差数列{}na的前偶数项和为S偶，数列前奇数项和为S奇．有),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，.1nnSaSa奇偶10na（）（7）项数为奇数12n的等差数列na，有指读声读大声读第4页（共13页）)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇.（8）等差数列{an}的前m项和为mS，则mmmmmSSSSS232,,，…成等差数列（9）已知等差数列{}na、{}nb的前n项和分别为nnTS,，则1212mmmmTSba例：根据下列条件求下列等差数列的前n项和（1）10,21,1101naa（2）50,2,1001nda（3）2,32,21daan例：已知数列na是等差数列，（1）若1022,512,11nnSaa求公差d（2）若,40,19552Saa求10a（3）若460,842012SS求na（4）在等差数列na中，①已知399200aa，求101S.②已知15129620aaaa，求20S.[来源:Z#xx#k.C2、等差数列前项和的最值问题差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）na0，d0，前n项和有最大值奎屯王新敞新疆可由na≥0，且1na≤0，求得n的值。当na0，d0，前n项和有最小值奎屯王新敞新疆可由na≤0，且1na≥0，求得n的值。（2）数列前n项和ns与通项na的关系：例：数列na是等差数列，6.0,501da（1）从第几项开始有0na，（2）求此数列的前n项和nS的最大值.例：已知数列{}na的前n项和nS，根据条件求na（1）212nSnn，（2）23nnS练：设数列na是等差数列，且6,682aa，nS是数列na的前n项和，则（）A．54SSB．54SSC．56SSD．56SS例：已知na为等差数列,前10项的和为,10010S前100项的和10100S,求前110项的和.110S例：等差数列{}na，12354,s前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求这个数列的通项公式.例：等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若nnTS=132nn,则1111ba=.2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaaq.当10a，q1时，等比数列｛na｝是数列；当10a，01q，等比数列｛na｝是数列；当10a，时，等比数列｛na｝是递减数列；当10a，时，等比数列｛na｝是递减数列；指读声读大声读第5页（共13页）当0q时，等比数列｛na｝是数列；当1q时，等比数列｛na｝是数列。即是等差数列又是等比数列的数列：等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa··（2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq.0nS（3）若等比数列的项数是偶数，则qSS奇偶,若项数为奇数时，qSaS偶奇1注意：由nS求na时应注意什么？1n时，11aS；n2时，1nnnaSS.例：（1）等比数列na中，若,29a则此数列前17项之积为（2）等比数列中，若162,262aa则10a（3）在等比数列na中，,24,3876543aaaaaa则11109aaa的值是例：（1）等差数列na中，,104a且1063,,aaa成等比数列，求数列na的前20项的和20S。(2)已知在等比数列na中，各项都是正数，,14a且87643,,aaa成等差数列，求数列na的通项公式。（3）已知{}na是等比数列且0na，569aa，则3132310logloglogaaa．（4）已知{}na是等比数列，47512aa，38124aa，且公比为整数，求10a例：在等比数列na中，（1）,21,41qa求10S（2）3,243,11qaan求nS（3）263,2763SS求通项na例：（1）已知等比数列na中前10项和1010S，前20项的和2030S，求30S（2）一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）A12B10C8D6（3）等比数列{}na中，33S，69S，则9S（）.A.21B.12C.18D.24（4）等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.指读声读大声读第6页（共13页）（5）等比数列{}na中，301013SS，1030140SS，求20S.（6）一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。三．判定与证明等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、