高等数学公式大全

【张小向高数宝典】【上篇：公式大全】【中篇：典型题赏析】【下篇：高数秘籍】◆双面打印/复印，节约纸张◆版本号:[e-mail]1高等数学宝典（上篇）——公式大全（含微分方程、复变函数）一.初等数学1.三角函数(1)相互联系,1cossin22=+xx,sec1tan22xx=+.csc1cot22xx=+,1cscsin=⋅xx,1seccos=⋅xx.1cottan=⋅xx,tancossinxxx=.cotsincosxxx=奇变偶不变,符号看象限:⎩⎨⎧±±=±±±=±=+,3,1,0)(,4,2,0)()2(ncofnfnfαααπ其中“±”号由角)2(απ+n所处的象限确定.(2)和角公式,sincoscossin)sin(βαβαβα±=±,sinsincoscos)cos(βαβαβα∓=±.tantan1tantan)tan(βαβαβα∓±=±(3)积化和差)],sin()[sin(21cossinβαβαβα−++=)],cos()[cos(21coscosβαβαβα−++=)].cos()[cos(21sinsinβαβαβα−−+−=(4)和差化积,2cos2sin2sinsinβαβαβα−+=+,2sin2cos2sinsinβαβαβα−+=−,2cos2cos2coscosβαβαβα−+=+.2sin2sin2coscosβαβαβα−+−=−(5)降幂公式,22cos1sin2αα−=.22cos1cos2αα+=(6)半角公式1cossin22αα−=±,1coscos22αα+=±,1cos1cossintan21cossin1cosααααααα−−=±==++,1cos1cossincot21cossin1cosααααααα++=±==−−.2.复数(1)代数表示z=a+bi(2)三角表示z=r(cosθ+isinθ),其中r=|a+bi|=22ab+,a=rcosθ,b=rsinθ.(3)指数表示a+bi=reiθ(欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ).3.一些常见的曲线(1)圆222ayx=+的参数方程为⎩⎨⎧==,sin,cosθθayax极坐标方程为ρ=a(θ∈[0,2π));【张小向高数宝典】【上篇：公式大全】【中篇：典型题赏析】【下篇：高数秘籍】◆双面打印/复印，节约纸张◆版本号:[e-mail]2(2)圆222)(aayx=−+的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin,costaaytax(t∈[0,2π))极坐标方程为ρ=2asinθ(θ∈[0,π));(3)圆222)(ayax=+−的参数方程为⎩⎨⎧=+=,sin,costaytaax(t∈[0,2π))极坐标方程为ρ=2acosθ)]2,2((ππθ−∈;(4)圆222)(ayax=++的参数方程为⎩⎨⎧=+−=,sin,costaytaax(t∈[0,2π))极坐标方程为ρ=-2acosθ))23,2[(ππθ∈;(5)圆222)(aayx=++的参数方程为⎩⎨⎧+−==,sin,costaaytax(t∈[0,2π))极坐标方程为ρ=-2asinθ(θ∈[π,2π));(6)椭圆12222=+byax的参数方程为⎩⎨⎧==,sin,costbytax(t∈[0,2π));(7)空间螺线⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin,cosbtztaytax(t∈R);(8)笛卡儿叶线x3+y3=3axy的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313tatytatx;(9)星形线x2/3+y2/3=a2/3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sincosayax;(10)摆线(圆滚线)22)1arcsin(yayayax−−−=的参数方程为⎩⎨⎧−=−=)cos1()sin(tayttax;【张小向高数宝典】【上篇：公式大全】【中篇：典型题赏析】【下篇：高数秘籍】◆双面打印/复印，节约纸张◆版本号:[e-mail]3(11)心形线)(2222xyxayx−+=+的极坐标方程为ρ=a(1-cosθ);(12)心形线)(2222xyxayx++=+的极坐标方程为ρ=a(1+cosθ);(13)双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)的极坐标方程为ρ2=a2cos2θ;(14)双纽线(x2+y2)2=2a2xy的极坐标方程为ρ2=a2sin2θ;(15)阿基米德螺线xyayxarctan22=+的极坐标方程为ρ=aθ(16)不经过原点的直线ax+by+c=0(a2+b2≠0)⇒aρcosθ+bρsinθ+c=0⇒.sincosθθρbac+=例如:x=a(a0)⇒);2,2(cosππθθρ−∈=ax=a(a0)⇒);23,2(cosππθθρ∈=ay=a(a0)⇒);,0(sinπθθρ∈=ay=a(a0)⇒);2,(sinππθθρ∈=ay=x−a(a0)⇒).43,4(sincosππθθθρ−∈+=a二.极限1.|q|1,nnq∞→lim=0.2.nnn∞→lim=1.3.设数列{an}与{bn}都收敛,aann=∞→lim,bbnn=∞→lim,则nnnnnnnbaba∞→∞→∞→±=±limlim)(lim=a±b;)lim)(lim()(limnnnnnnnbaba∞→∞→∞→==ab;nnnnnnnbaba∞→∞→∞→=limlimlim=ba(b≠0).4.设xn=mmllnbnbbnanaa++++++1010,其中al≠0,bm≠0,l≤m,则∞→nlimxn=⎩⎨⎧=mlmlbaml0.5.∞→nlim(p1+22p+…+npn)=2)1(−pp,其中p1.6.()nnn11lim+∞→=e.7.设)(lim0xfxx→=A,)(lim0xgxx→=B.则)(lim)(lim)()([lim000xgxfxgxfxxxxxx→→→±=±=A±B;【张小向高数宝典】【上篇：公式大全】【中篇：典型题赏析】【下篇：高数秘籍】◆双面打印/复印，节约纸张◆版本号:[e-mail]4)](lim)][(lim[)]()([lim0xgxfxgxfnnxx∞→∞→→==AB;)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx→→→==BA(B≠0).8.设y=f(u)与u=g(x)的复合函数f[g(x)]在x0的某去心邻域)(0xN内有定义.若)(lim0xgxx→=u0,)(lim0ufuu→=A,且∀x∈)(0xN,有g(x)≠u0,其中x0,u0为有限值.则复合函数f[g(x)]当x→x0时也有极限,且)]([lim0xgfxx→=)(lim0ufuu→=A.9.xxxsinlim0→=1.xxx⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim=e.10.常用的等价无穷小:sinx～tanx～arcsinx～arctanx～x(x→0);(1-cosx)～221x(x→0)ln(1+x)～x(x→0)(ex-1)～x(x→0)(nx+1-1)～nx(x→0);[α)1(x+-1]～αx(x→0).三.导数与微分1.导数定义:0000000)()(lim)()(limlim)(0xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx−−=∆−∆+=∆∆=′→→∆→∆.2.函数四则运算的求导法则).()(])()([xvxuxvxu′±′=′±).()()()(])()([xvxuxvxuxvxu′+′=′⋅.)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu′−′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡/3.反函数的求导法则设定义在区间I上的严格单调连续函数x=f(y)在点y处可导,且0)(≠′yf,则其反函数y=f-1(x)在对应的点x处可导,且,)(1)()(1yfxf′=′−即yxxydd1dd=.4.复合函数的求导法则设函数)(xuϕ=在点x处可导,函数y=f(u)在对应的点)(xuϕ=处可导,则复合函数))((xfyϕ=在点x处可导,且),()(ddxufxyϕ′′=即xuuyxydddddd⋅=.5.设函数y=f(x)由参数方程⎩⎨⎧==)()(tytxψϕ确定.),(txϕ=)(tyψ=在区间],[βα上可导,函数)(txϕ=具有连续的严格单调的反函数),(1xt−=ϕ且,0)(≠′tϕ则)).(()(1xty−==ϕψψ函数y=f(x)的导函数由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧′′=′=)()()(txtyytxϕ确定.6.基本求导公式(1)(xα)′=αxα−1.(2)(ax)′=axlna.(3)(ex)′=ex.(4)(logax)′=1lnxa.(5)(lnx)′=1x.(6)(sinx)′=cosx.(7)(cosx)′=−sinx.(8)(tanx)′=sec2x.(9)(cotx)′=−csc2x.(10)(secx)′=secx⋅tanx.(11)(cscx)′=−cscx⋅cotx.(12)(arcsinx)′=211x−.(13)(arccosx)′=−211x−.【张小向高数宝典】【上篇：公式大全】【中篇：典型题赏析】【下篇：高数秘籍】◆双面打印/复印，节约纸张◆版本号:[e-mail]5(14)(arctanx)′=211x+.(15)(arccotx)′=−211x+.7.一些简单函数的高阶导数(n,k为正整数)(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+−−⋅=−,0,!,)1()1()()(nknknnkxknnnxknkn(2),)1()1()1()()(knkknxknnnx−−−−++⋅−=(3),)1()1(])1[()(kkxkx−+−−⋅=+ααααα(4)),(ln)()(aaakxkx=特别的,,)()(xkxee=(5),)!1()1()(ln1)(kkkxkx−−=−(6),)1()!1()1()]1[ln(1)(kkkxkx+−−=+−(7)),2sin()(sin)(πkxxk+=(8)).2cos()(cos)(πkxxk+=(9)()()()0()nnknkknkuvCuv−==∑()(1)(2)()()()(1)(1)(1)2!!nnnnkknnnnnnkuvnuvuvuvuvk−−−−−−+′′′=++++++8.微分四则运算法则:,dd)(dvuvu±=±,dd)(dvuuvuv+=).0(ddd2≠−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛vvvuuvvu9.微分复合运算法则(一阶微分形式不变性)设函数y=f[g(x)]由可微函数y=f(u)与u=g(x)复合而成,则有,d)(duufy′=,d)(dxxgu′=另一方面,dy=().d)(d)()(d)]([uufxxgufxxgf′=′′=′10.拉格朗日中值定理:设函数f(x)满足下列条件:(1)f(x)∈C[a,b],(2)f(x)在(a,b)内可导.则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).11.柯西中值定理:设函数f(x),g(x)满足下列条件:(1)f,g∈C[a,b],(2)f,g在(a,b)内可导,(3)g′(x)≠0∀x∈(a,b).则至少存在一点ξ∈(a,b),使得.)()()()()()(ξξgfagbgafbf′′=−−12.用中值定理证明的关键在于构造辅助函数.①使用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理中值等式G(ξ)=0凑成导数等式0)(=′ξF辅助函数F(x)0)(=++′BAfkξξ0]1)([1=′++++BxkAxxfkBxkAxxfk++++1)(10)()()()(=−′−′kagfgafξξ0])()()()([=′−−kxagxfxgaf)()(xgafkxagxf−−)()(∑−=−−=−1010)(niiniinaξ∑−=−=′100][niiniaξ∑−=−10niinixa0