函数与方程-高考真题复习-高考复习

§2.6函数与方程高考理数(课标Ⅱ专用)考点函数的零点与方程的根1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)e,0,ln,0,xxxx五年高考A组统一命题·课标卷题组答案C本题主要考查函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故选C.e,0,ln,0xxxx方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.2.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ()A.- B. C. D.1121312答案C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a= .令h(t)= ,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a= = ,故选C.21eettt21eettt10212方法总结(1)函数f(x)零点个数的问题可等价转化为方程f(x)=0解的个数的问题.(2)求参数范围的方法主要是分离参变量法和构造函数法.解后反思本题也可转化为函数y=1-(x-1)2的图象与y=a 的图象只有一个交点,分a=0,a0,a0三种情况,结合函数单调性求解.111eexx3.(2018课标全国Ⅲ,15,5分)函数f(x)=cos 在[0,π]的零点个数为.36x答案3解析本题考查函数与方程.令f(x)=0,得cos =0,解得x= + (k∈Z).当k=0时,x= ;当k=1时,x= ;当k=2时,x= ,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.36x3k994979考点函数的零点与方程的根1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1B组自主命题·省（区、市）卷题组答案Ay=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是 ()A. B. C.(1,2)D.(2,+∞)10,21,12答案Bf(x)= 如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= .要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知, k1.1,2,3,2.xxxx12123.(2017山东,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y= +m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ()A.(0,1]∪[2 ,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0, ]∪[2 ,+∞)D.(0, ]∪[3,+∞)x3232答案B①当0m≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图.x易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点;②当m1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图.x要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0(舍去),∴m≥3.综上,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).方法总结已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围.②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)= 函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是 ()A. B. C. D. 22||,2,(2),2,xxxx　7,47,470,47,24答案D由已知条件可得g(x)= 函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示:22|2|,0,,0.bxxbxx要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图象恰有4个不同的交点,需满足 在x0时有两个不同的解,即x2+x+2-b=0有两个不同的负根,则 解得 b2;22,yxybx14(2)0,20,Δbb74同时要满足 在x2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令h(x)=x2-5x+8-b,需 即 解得 b2.综上所述,满足条件的b的取值范围是 b2,故选D.2(2),22yxybx(2)0,50,2hh20,2580,4bb74745.(2018天津,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.222,0,22,0.xaxaxxaxax答案(4,8)解析本题主要考查函数零点的应用.设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一:22,0,2,0,xaxaxxaxax则 ∴4a8.212240,80,ΔaaΔaa则 不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).212240,80,ΔaaΔaa情况二:解题策略解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.6.(2018江苏,19,16分)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)= .对任意a0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.exbx解析本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f'(x)=1,g'(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得 此方程组无解.因此,f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,则f'(x)=2ax,g'(x)= ,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得 即 (*)得lnx0=- ,即x0= ,则a= = .222,122,xxxx1x200001ln,12,axxaxx200201ln,21,axxax1212e12212(e)e2当a= 时,x0= 满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为 .(3)f'(x)=-2x,g'(x)= ,x≠0,f'(x0)=g'(x0)⇒b =- 0⇒x0∈(0,1),f(x0)=g(x0)⇒- +a= =- ⇒a= - ,令h(x)=x2- -a= ,x∈(0,1),a0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a0,则m(0)=-a0,m(1)=20⇒m(0)·m(1)0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,∴m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点.因此,对任意a0,存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.e212ee22e(1)xbxx0ex30021xx20x00exbx20021xx20x20021xx221xx3231xxaxax思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f'(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a= - ,从而转化为研究h(x)= ,x∈(0,1),a0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a0,由m(0)0,m(1)0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.20x20021xx3231xxaxax考点函数的零点与方程的根1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分,0.526)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是 ()A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0C组教师专用题组答案C由三次函数值域为R知f(x)=0有解,所以A项正确;因为y=x3的图象为中心对称图形,而f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可以由y=x3的图象平移得到,故B项正确;若f(x)有极小值点,则f'(x)=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1x2),f'(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),则f(x)在(-∞,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+∞)上为增函数,故C项错误;D项正确.故选C.思路分析利用导数的求导法则得出f'(x),求方程f'(x)=0的两实根,由此得到函数f(x)的增减性,进而得到正确答案.2.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)解析记g(x)=a|x-1|,则g(x)的图象过定点(1,0).原方程恰有四个互异的实数根,则f(x)与g(x)的图象恰有四个不同交点,故a0.分以下三种情况:i)四个交点的横坐标均小于1.由 得x2+(3-a)x+a=0,由Δ1=(3-a)2-4a0得a1(a9舍去).故0a1时恰有四个交点.ii)三个交点的横坐标小于1,一个交点的横坐标大于1.则y=a(1-x)与y=-x2-3x(-3x0)相切,且y=a(x-1)与y=x2+3x(x1)也相切,解得a=1且a=9,此种情形不存在.iii)两个交点的横坐标小于1,另两个交点的横坐标大于1.由 得x2+(3-a)x+a=0,由Δ2=(3-a)2-4a0得a9(a1舍去).故a9时恰有四个交点.综上,a∈(0,1)∪(9,+∞).2(1),3yaxy