2017年高考理科数学模拟试卷(全国卷)

第1页共10页2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。参考公式：柱体体积公式：VSh（其中S为底面面积，h为高）锥体体积公式：13VSh（其中S为底面面积，h为高）球的表面积、体积公式：2344,3SRVR（其中R为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12izi（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁RM）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A.15B.10C.9D.74.设{na}是公差为正数的等差数列，若12315aaa，且12380aaa，则111213aaa等于（）A．120B．105C．90D．75[来源:Z.xx.k.Com5.由2yx和23yx所围成图形面积是（）A.B.C.D.6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或第2页共10页7．定义某种运算Sab，运算原理如图所示，则131100lgln)45tan2(e的值为（）A．15B．13[来源:高&考%资(源#网KS5U.COMC．8D．4高&考%资(源#网[来源:高&考%资(源#网]第7题图第8题图8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54B.27C.18D.99..如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足AMMC＝MPPB＝2，若|AB→|＝2，|AC→|＝3，∠BAC＝120°，则AP→·BC→的值为（）A．－2B．2C.23D．－113第9题图第10题图10．如图,在平行四边ABCD中,=90.,2AB2+BD2=4,若将其沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为（）A.4B.8C.12D.1611.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．212.已知定义在0,上的单调函数fx，对0,x，都有3log4ffxx，则函数1'13gxfxfx的零点所在区间是（）第3页共10页A.4,5B.3,4C.2,3D.1,2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.93)1(xxx的展开式中的常数项为________．14.若数列na是正项数列，)(3...221Nnnnaaan，则1...3221naaan_____．15．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于98的概率为_______．16.在对边分别为、、中，内角CBAABCa、b、c,若其面S=2,)(22ASincba则_______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题12分）设ABC的内角CBA,,所对的边分别为,,,cba且1cos2aCcb.(1)求角A的大小;(2)若1a,求ABC的周长的取值范围.18、(本小题满分12分)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60,70)9x[70,80)y0.38[80,90)160.32[90,100)zs合计p1（1）求出上表中的,,,,xyzsp的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望.19．（本小题12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，ACBD于O，E为线段PC上一点，且ACBE，（1）求证：//PA平面BED；第4页共10页（2）若ADBC//，2BC，22AD，3PA且CDAB求PB与面PCD所成角的正弦值。20.（本小题12分）已知抛物线C：212xy，直线2ykx交C于M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T。（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；（2）是否存在实数k使0TNTM，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．21.（本小题12分）设函数1exfx．（1）证明：当1x时，1xfxx；（2）设当0x时，1xfxax，求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知圆M的极坐标方程为)4sin(2，现以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系。（1）求圆M的标准方程；（2）过圆心M且倾斜角为4的直线l与椭圆1222yx交于A，B两点，求||||MBMA的值。24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（2）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．yx2MNTOQ第1页共10页理科数学评分标准一.选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）二.填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.84.14.226nn.15.23.16.1717.三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17、（本小题满分12分）解(1)由1cos2aCcb得1sincossinsin2ACCB…………2分又sinsin()sincoscossinBACACAC11sincossin,sin0,cos22CACCA…………4分0A23A…………6分(2)由正弦定理得:BABabsin32sinsin,Ccsin32…………8分221sinsin1sinsin33labcBCBAB21321(sincos)1sin()22333BBB…………10分22,(0,),(,)33333ABB,3sin()(,1]32B故ABC的周长的取值范围为23(2,1]3.…………12分18．（本小题满分12分）题号123456789101112答案ACDBCDBCAAAC第2页共10页解：（1）由题意知，0.18,19,6,0.12,50xyzsp…………3分（2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，…………4分①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A，则11154426+C7()10CCPAA所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为710.…………-6分②随机变量X的可能取值为0,1,2…………7分34361(0)5CPXC，2142363(1)5CCPXC,1242361(2)5CCPXC，…………10分随机变量X的分布列为：X012P153551…………11分因为131012=1555EX，所以随机变量X的数学期望为1.…………12分19.（本小题满分12分）（1）,,ACBDACBEBDBEB，ACBDE平面,连接OE，…………1分所以ACOE，又PAABCD平面，ACPA，又,OEPA都是平面PAC中的直线，OE∥PA，…………3分且OEBDE平面，PABDE平面，PA∥平面BDE…………4分（2）ADBC//，2BC，22AD且CDAB在等腰梯形中1,2OBOCOAOD…………5分由（1）知OEABCD平面，分别以,,OBOCOE为,,xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz，第3页共10页则(1,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(0,2,3)BCDP…………6分设平面PCD的法向量为(,,)nxyz则00nCDnPC，所以20330xyyz取1x，则2yz，(1,2,2)n，…………9分又(1,2,3)PB，14cos,14PBnPBnPBn…………11分所以PB与平面PCD所成角的正弦值为1414…………12分20、（本小题满分12分）解：（1）设112200(,),(,),(,)MxyNxyQxy，…………1分联立222yxykx得2220xkx…………2分所以1212,12kxxxx，…………3分12024xxkx，…………4分22yx，所以0'xxyk所以抛物线22yx在T点处的切线与MN平行。…………6分（2）由（1）可得2(,)48kkT，则…………7分221212()()()()4488kkkkTMTNxxyy3222212127(1)()()(2)48168kkkkxxkxx…………9分223(4)(16)064kk…………11分解得2k，所以存在2k满足0TMTN…………12分第4页共10页21、（本小题满分12分）解：（1）证明：当1x时，10x，1xfxx，即11e1eee1111xxxxxxxxxx.令e1xgxx，1x，．…………2分e1xgx，令0gx，得0x．'00;g'010.gxxxx令得令得所以当1x时，0min0e100gg，故当1x时，0gx，即e1xx，即1xfxx，且当且仅当0x时等号成立．…………4分（2）解：由0x时，011xxeax恒成立，故0a.…………5分设+e11xxhxax，0x，，则2211ee11xxaxaxhxaxax22ee11xxaxax