四边形一对一讲义

平行四边形一．知识点回顾1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________。2.平行四边形的性质有：(1).边：平行四边形的对边______________(2).角：平行四边形的对角_______，平行四边形的邻角_________(3).对角线：平行四边形的对角线____________3.平行四边形的对称性：平行四边形是___对称图形，而不是______对称图形，对角线的交点是平行四边形的_________.4.平行形的判定方法：(1).边：1）________________________的四边形是平行四边形2）________________________的四边形是平行四边形3）________________________的四边形是平行四边形(2).角：________________________的四边形是平行四边形(3).对角线：________________________的四边形是平行四边形5.三角形的中位线：（1）定义：我们把____________________________________叫做三角形的中位线（2）三角形的中位线性质___________________________________________二．例题讲解知识点一：平行四边形的性质例1：如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm，（1）求□ABCD的周长和面积.（2）若问题改为CF=2cm，CE=3cm，求□ABCD的周长和面积.FEDCBA例题2：（2010广东湛江）如图，在ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：（1）ABECDF（2）//AECFFDACBE知识点二：平行四边形的判定例题3：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.例4：（2010广东汕头）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．知识点三：三角形中位线例5：已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．例6：如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=12BD．EFCB还有其他变式吗？DA三.巩固练习一．选择题1.（2010四川成都）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①//ABCD；②ABCD；③//BCAD；④BCAD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）（A）6种（B）5种（C）4种（D）3种2.如图1，在□ABCD中，已知AD＝8㎝，AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm3.如图2，在ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为()A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm4.（2010山东临沂）如图3，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，4AB，则OE的长是（A）2（B）2（C）1（D）125.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.如果平行四边形的两条对角线长分别为8和12，那么它的边长不能取（）A.10B.8C.7D.67.杨伯家小院子的四棵小树EFGH、、、刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形二．填空题ＡＤＨＧＣＦＢＥABCD图1EEODCBA（第3题图）8.（2010湖南常德）如图4，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为.（填一个即可）.ABCDEFEDCBA9..如图5在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE=.10.在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，则∠A_________.11.□ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm.12.如图6，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，DE∥AC，若△ABC周长为8，则PD+PE+PF=。三．解答题13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，M为AB的中点，求证：DMCM。14.在□ABCD中，E，F为AC上两点，BE//DF．求证：四边形BEDF为平行四边形．15.已知：如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AECF，M、N分别是DE、BF的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。16.（2009年广州市）如图9，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。DBCA图4图5PFEDCBA图6NMFEDCBA证明：四边形DECF是平行四边形。17.在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，DE∥AC交直线AB于E，DF∥AB交直线AC于点F，解答下列各问：（1）如图1，当点D在线段BC上时，有DE＋DF＝AB，请你说明理由；(6分)（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE、DF、AB之间的关系并加以证明．(图1)(图2)18.图8是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB／／DC，BC／／DF．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B---D---A---E，路线2是B---C---F---E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．19.如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是»AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE求证：四边形OGCH是平行四边形DABCFEDCBA特殊的平行四边形一．知识点回顾1.根据图形所具有的性质，在下列表中打上“√”或者“×”。图形性质平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对角相等对角线互相平分四条边相等四个角相等对角线互相垂直对角线相等对角线平分一组对角轴对称中心对称2.菱形面积公式：_________________3.直角三角形斜边上的中线等于_____________．4.矩形，菱形，正方形的判定判定方法矩形1.2.3.菱形1.2.3.正方形1.2.FDCEBA二．例题讲解例题1：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB。求证：△AOB是等边三角形。ODCBA例题2：(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。例3：如图所示，在矩形ABCD中，F是BC的中点，E是AD边上的一点，且∠EBC＝30°，∠BEC＝90°，EF＝8cm，求AE和ED的长。例4在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56ABAC，．过点D作DEAC∥交BC的延长线于点E．（1）求BDE△的周长；（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BPDQ．例5（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，AB=BF。求证：四边形BNDM为菱形。例6：（2010年长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．AQDEBPCOEBDACFAFDEBC第22题图NMEDFABC三．巩固训练一．选择题1.下列命题中是真命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形2.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A．23cmB．24cmC．23cmD．223cm3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）A．2B．4C．23D．435.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°6.如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．125B．65C．245D．不确定7.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是().A.669B.670C.671D.672二．填空题8.如图1，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是．第7题图DCBAO9.如图所示2，菱形ABCD中，对角线ACBD、相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．10.如图3，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_____cm.411.如图4，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是°．12.如图5，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则D点的坐标为.13.如图6，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为.14.点P是矩形ABCD内一点，且有PA=3，PB=4，PC=5，则PD=。三．解答题1.已知：如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.3.（2010山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．OBAHCC图1图2图3图4图5yx第8题图DCO(B)A第4题图MNOGFEDCBA图6（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．4.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.5.（2009年黄石市）如图，ABC△中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC∥，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且ABC△满足什么条件时，四边形AECF是正方形？AFNDCBMEOACBDEFG1423题图246.如图①，四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF=EF．(2)当点G为