第八节-多元函数的极值及其求法

1多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法2一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域,),()(0PfPf为极大值.则称)(0Pf多元函数的极值与拉格朗日乘数法3注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法4xyzO例2243yxz函数存在极值,在(0,0)点取极小值.椭圆抛物面在简单的情形下是容易判断的.函数(也是最小值).多元函数的极值与拉格朗日乘数法5xyzO例22yxz例xyz在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.下半个圆锥面马鞍面函数函数xyzO62.极值的必要条件定理1(必要条件)),(),(00yxyxfz在点设函数具有处且在点),(00yx则它在该点的偏导数必然为零:,0),(00yxfx.0),(00yxfy,偏导数,有极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法7证处在点),(),(00yxyxfz有极大值,不妨设的某邻域内任意则对于),(00yx),,(),(00yxyx都有),,(),(00yxfyxf,,00时故当xxyy),,(),(000yxfyxf有说明一元函数处在00),(xxyxf有极大值,必有;0),(00yxfx.0),(00yxfy类似地可证8推广如果三元函数),,(),,(000zyxPzyxfu在点具有偏导数,则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为,0),,(000zyxfx,0),,(000zyxfy.0),,(000zyxfz多元函数的极值与拉格朗日乘数法9均称为函数的驻点极值点(偏导数存在)仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,的是函数点xyz)0,0(驻点,但不是极值点.注103.极值的充分条件定理2(充分条件)),(),(00yxyxfz在点设函数的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,,0),(00yxfx又,0),(00yxfy,),(00Ayxfxx令,),(00Cyxfyy,),(00Byxfxy),(),(00yxyxf在点则处是否取得极值的条件如下:(1)时02BAC有极值,时当0A有极大值,时当0A有极小值;(2)时02BAC没有极值;(3)时02BAC可能有极值,也可能无极值.11求函数极值的一般步骤:),(yxfz第一步解方程组0),(0),(yxfyxfyx求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点),,(00yx求出二阶偏导数的值.CBA、、第三步定出2BAC的符号,再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法12例解又在点(0,0)处,在点(a,a)处,)0(3),(33ayxaxyyxf求函数03303322yaxfxayfyx).,(),0,0(aa驻点xxfxyfyyf229aBAC故),(yxf2227aBACaA6且故),(yxf即.),(3aaaf的极值.0在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,0,6x,3a.6y多元函数的极值与拉格朗日乘数法01304222xxzzzx解求由方程010422222zyxzyx.),(的极值确定的函数yxfz将方程两边分别对x,y求偏导数,04222yyzzzy由函数取极值的必要条件知,驻点为),1,1(P将上方程组再分别对x,y求偏导数,,21|zzAPxx,0|PxyzB,21|zzCPyy多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一14故22)2(1zBAC)2(z函数在P有极值.0010422222zyxzyx)1,1(P将代入原方程,6,221zz有,21时当z41A,02)1,1(fz为极小值;,62时当z41A,06)1,1(fz为极大值.zzAPxx21|0|PxyzB多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以zzCPyy21|15求由方程010422222zyxzyx.),(的极值确定的函数yxfz多元函数的极值与拉格朗日乘数法解法二配方法方程可变形为16)2()1()1(222zyx于是22)1()1(162yxz,1,1时当yx显然,根号中的极大值为4,※由※可知,42z为极值.即6z为极大值,2z为极小值.16取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数22yxz不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法18其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法19解(1)求函数在D内的驻点由于所以函数在D内无极值.(2)求函数在D边界上的最值(现最值只能在边界上)与在求函数0,0212yxyxxz1yx直线围成的三角形闭域D上的0最大(小)值.例xzx212yz多元函数的极值与拉格朗日乘数法1yxDxyO20＊在边界线＊在边界线由于最小,由于又在端点(1,0)处,yxxz212所以,最大.yz2121xxz,21ddxxz,21x43)0,21(z有驻点函数值有,0x单调上升.2ddyz,0yz211)0,0(z3)1,0(z,0y.1)0,1(z,10上y,10上x多元函数的极值与拉格朗日乘数法1yxDxyO21＊在边界线所以,最值在端点处.yxxz212)1(212xxxz由于函数单调下降,)0,21(z及43)0,21(minzz3)1,0(maxzz,1yx233xxxxz23dd0),10(x(3)比较),0,0(z),0,1(z)1,0(z,10上x43)0,21(z1)0,0(z3)1,0(z1)0,1(z多元函数的极值与拉格朗日乘数法1yxDxyO22解,02xfx令08yfy)0,0(),,(422yxfyx代入将133),(2yyxf]2,2[yyyg6)(令0y此时24yx,2时当y9)0,0(f.9,25),(最小值为上的最大值为在故Dyxf13)0,2(f25)2,0(f的最大值与最小值.驻点得)(yg020x均有多元函数的极值与拉格朗日乘数法上在求4:94),(2222yxDyxyxf23对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法24解yxz18xyzV：区域D02182yxyyVx02182xyxxVy)18(yxxy2218xyyxxy例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为,zyx、、由题意长方体的体积为18,0,0yxyx)6,6(驻点多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,,18zyx25上例的极值问题也可以看成是求三元函数zyx、、但的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法有时条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法xyzV18zyx26拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数),(yxfz0),(yx在约束条件下取得利用隐函数的概念与求导法如函数(1)在),(00yx0),(00yx由条件0),(yx(1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值,那末首先有(3)确定y是x的隐函数).(xyy多元函数的极值与拉格朗日乘数法于是函数(1)),(00yx在0xx即,取得所求的在取得极值.极值.)),(,(xyxfz)),(,(xyxfz27其中0ddxxxy代入(4)得:)5(0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx由一元可导函数取得极值的必要条件知:0ddxxxz00yyxxxf(4)000ddxxyyxxxyyf0),(),(0000yxyxyx0xx取得极值.在(3),(5)两式),(00yx在取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的)1(),(yxfz)2(0),(yx))(,(xyxfz28设),(),(0000yxyxfyy上述必要条件变为:(6)中的前两式的左边正是函数:0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx0),(),(0000yxyxfxx0),(00yx0),(),(0000yxyxfyy(6),0),(00yx),(),(),(yxyxfyxL的两个一阶偏导数在),(00yx的值.参数函数),(yxL称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.29拉格朗日乘数法:),(yxfz0),(yx极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点,先构造函数),(),(),(yxyxfyxL为某一常数,其中可由解出,,,yx其中就是可能的极值点的坐标.yx,多元函数的极值与拉格朗日乘数法,0),(),(yxyxfxx,0),(),(yxyxfyy.0),(yx30如何确定所求得的点实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点多元函数的极值与拉格朗日乘数法31例将正数12分成三个正数zyx,,之和使得zyxu23为最大.解.691224623maxu则故最大值为又是实际问题,解得唯一驻点)2,4,6(一定存在最值.令),,(zyxLzyx23)12(zyx023yzxLy0322zyxLx023yxLz12zyx此题是否也可化为无条件极值做多元函数的极值与拉格朗日乘数法32解),,(000zyxP设为椭球面上的一点,令1),,(222222czbyaxzyxF则,2|20axFPx,2|20byFPy202|azFPz的切平面方程为),,(000zyxP过在第一卦限内作椭球面的使切平面与三个坐标面所围成的例1222222czbyax切平面,四面体体积最小,求切点坐标.0)()()(020020020zzczyybyxxax多元函数的极值与拉格朗日乘数法33目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为1202020czzbyyaxx,02xax,02yby02zcz