二重积分的极坐标计算方法

§8.二重积分在极坐标系下的计算方法1.极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式drdrddrdrdrdrddrrd222)(2121)(21rxy),(yxPrdrdd;sin,cosryrx2.二重积分在极坐标系下的形式DDdrdrrrfdyxf)sin,cos(),(3.平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式为已知函数。其中：平面曲线的极坐标方程g,)(gr)cos(sin)(,rfrxfyyx转换为极坐标曲线方程：直角坐标曲线方程转换)(rgr解出23:xy直线例如2cos3sin,rryx转换cos3sin2r.cossin2)(gr为即此直线的极坐标方程1)(:22yx圆曲线例如11sincos2222,rrryx转换.1)()(gr的极坐标方程为圆即此曲线2:xy抛物线例如22sincos()tansecrrrg})()(,),({21grgrD形式：平面区域的极坐标表示形式：转换为极坐标区域表示直角坐标区域表示形式)}()(,),{(xgyxhbxayxDDx)}()(,),{(21,grgrDyx转换4.平面区域的极坐标表示法实例-2-112-2-112}4),({22yxyxD圆盘将平面区域视为分布在某个角度内的无穷条射线（段）束的组合}20,20),({rrD-2-112-2-112D}661{起始角度为，夹角为，半径为扇形D}10,36),({rrD}021{起始角度为，，大小半径分为半环形D}21,0),({rrD-2-1120.511.52D0.511.52-1-0.50.51}4)2(),({)02(222yxyxD处的右偏心圆，圆心在点，半径为D})(022),({frrD，4sin)2cos(4)2(22222rryx)(cos40cos42frrr}cos4022),({rrD，处的右偏心圆上半部，圆心在点，直径为)021(1}041)21(),({22yyxyxD且0.20.40.60.810.10.20.30.40.541sin)21cos(41)21(22222rryx)(cos0cos2frrr}cos020),({rrD，D})(020),({frr，-2-1121234}4)2(),({)20(222yxyxD处的上偏心圆，圆心在点，半径为})(00),({frrD，4)2sin(cos4)2(2222rryx)(sin40sin42frrr}sin400),({rrD，D处的上偏心圆右半部，圆心在点，直径为)210(1}041)21(),({22xyxyxD且0.10.20.30.40.50.20.40.60.81D41)21sin(cos41)21(2222rryx)(sin0sin2frrr}sin020),({rrD，})(020),({frr，；所围和由1,1,0xyxyyD1Dxy1}0,10),({xyxyxDDx)(cos11cos1frrx}cos10,40),({rrD围成的平面区域。及由直线0,4,xyxyD44Dxy}4,40),({yxxyxDDx)(sin44sin4frry}sin40,24),({rrD})(0,40),({frrD})(0,24),({frrD44D+4xy{(,)04,04}xDDxyxyx44cossin4()sincosxyrrrf4{(,)0,0}2sincosDrr{(,)0,0()}2Drrf；所围区域和是由00,4xyyxD)()(21)sin,cos()sin,cos(),(ggDDdrrrrfdddrrrrfdyxf6.用极坐标计算二重积分操作步骤与实例ii)写出二重积分区域D在极坐标下的表示形式(这是关键）;iii)把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积r后积的内外两个定积分）;iv)视为参数，先对r计算内层定积分;再对计算外层定积分。})()(,),({21grgrD)()(21)sin,cos(),(ggDdrrrrfddyxf5.二重积分在极坐标系下的累次积分公式i)画出区域的草图；例计算二重积分：，其中D是由曲线Ddyxayx222224)0(22axaay}sin20,04),({:arrD易见，解-aardrrarddyxayxIaD04sin20222222244dttatatadtartdtadra0402222sin2cos2cos2)sin1(4sin40sin20).2116(22a和直线y=-x围成的区域。（2000年考研数学试题）042)2sin21(2dadttad)2cos1(20402DdxdyxxyxyxD.},),({22求设11/2解：区域D如图所示.（1998年考研数学试题）}cos0,22),({rrD易见，22322cos025cos5252cosddrrdrrddxID22cos0cos.158)(sin)sin1(52222d7.用极坐标系下计算二重积分的判断原则i)积分区域是圆的一部分或与圆有关；ii)被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标下的定积分计算不便或根本无法计算）。年考研试题）其中计算二重积分2003(}),({,)sin(2222)(22yxyxDdxdyyxeDyxrdrreddxdyyxerDyx02)(2022)()sin()sin(222解：dttetrt0)(sin2,sin02Iedtteetrt000cos)(sin)(sintdtetedtteIttt000)sin()(cos)(cosdttetetdtettt,1sin10Ietdteet)1(21eI.)1(2eIe原式例计算二重积分，其中D由直线x=0,y=0与x+y=1所围成。DyxydeI解：区域D如图所示.}cossin10,20),({}10,10),({rrxyxyxD易见，20cossin10cossinsinrdreddeDyxyxyDde220cossinsin)cossin1(21.212120cossinsinee8.利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算二重积分的实例年考研试题）其中计算二重积分2006(}0,1),({,112222xyxyxDdyxxyID,1111121222222IIdyxxydyxdyxxyIDDD解：10222221111rdrrddyxID;2ln2)1ln(211102102rrdrr；轴对称区域关于是奇函数被积函数对于01222xyDdyxxyI.2ln2112122IIdyxxyID（1）利用被积函数可加性问题年考研试题）所围成的平面区域和是由圆其中求2004(1)1(4,][222222yxyxDdyyxDdyyxD][:22解dyxD22其中)cos(202322020rdrrdrdrrd,22dydyxDD232cos2022038drrdddyxdyxDD小圆大圆2222）的奇函数被积函数为关于轴为对称因为积分区域关于而yxdyD,(,0.)23(916][2222dydyxdyyxDDD23233cos8316d2323)3sin(sin38316;932316例计算二重积分，其中D是由曲线和直线x=-2,x轴，y=2围成的区域。（1999年考研数学试题）Dydxdy22yyx解：区域D如图所示.-221DD1}20,02),({}sin20,2),({11yxyxDDrrD易见，记11DDDDydxdyydxdyydxdy24sin384d.24)84sin22sin(32422)24cos12cos21(1284d2sin200220sinrdrrdydydx2sin203023sin2rdx（2）利用区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算问题Dbaxgxhdyxfdyyxfdx),(),()()()()()sin,cos()sin,cos(drrrrfdrdrdrrfD9.极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积分的互换问题(1)直角坐标系下累次积分化为极坐标系下累次积分问题。为极坐标下的累次积分化dxyxfdyyy),(22020。为极坐标下的累次积分化dxyxfdyyy),(22020,),(),(22020Dyydyxfdxyxfdy解：所围：和由其中220,2,0yyxxyyD0.20.40.60.810.511.52D}sin20,20),({rrDrdrrrfddyxfD)sin,cos(),(20sin20原式。为极坐标下的累次积分化24025220520)()(xxdyxyfdxdyxyfdxI,)()(120520Dxdxyfdyxyfdx解：所围，和由其中xyyxxD20,52,01;)()(2240252Dxdxdyxyfdyxyfdx所围，和由2240,2,52xyyxxD0.511.520.511.521D2DDDDdxyfdxyfdxyfI)()()(11D，}20,20),{(21rarctgrDDDrdrrrfddxyfIDarctg2020)cossin()(.)(tan22)(tan2020202arctgarctgdfdrf分。为直角坐标下的累次