工程力学第13章(应力状态分析)

第十三章应力状态分析§13-1引言一、应力状态的概念1.点的应力状态过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。2.一点应力状态的描述以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。单元体三对面的应力已知，单元体平衡单元体任意部分平衡由截面法和平衡条件可求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。二、应力状态的分类1.主平面单元体上无切应力的平面。2.主应力作用在主平面上的正应力。3.应力状态的分类任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力，且有：123（按代数值大小排序）·三向应力状态三个主应力都不等于零。·二向应力状态两个主应力不等于零。·单向应力状态只一个主应力不等于零。§13-2平面应力状态应力分析的解析法一、任意斜截面上的正应力和切应力n0:Fd(dcos)sin(dcos)cosxxAAA(dsin)cos(dsin)sin0yyAA0:Fd(dcos)cos(dcos)sinxxAAA(dsin)cos(dsin)sin0yxAA平面应力状态下任意斜截面上应力表达式cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx⑵正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx⑶斜截面角度：从x轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。⑴σx、τx是法线与x轴平行的面上的正应力与切应力，即x面上的正应力与切应力；σy、τy是法线与y轴平行的面上的正应力与切应力，即y面上的正应力与切应力。例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F=100kN，l=2m，b=200mm，h=600mm，α=40o，求离支座l/4处截面C点在斜截面n-n上的应力。解：⑴求C点所在截面的剪力、弯矩S50kN2FF25kNm8FlM⑵求C点在横截面上的正应力、切应力33C312251060010/41.04MPa20060010/12zMyI2326C26263435010415010(1)(1)2220060010600100.469MPaSFybhhC1.04MPaC0.469MPa⑶作出C点的应力状态图1.04MPaxcos2sin222xyxyx1.07MPasin2cos22xyx0.59MPa0y0.469MPaxo40oo1.041.04cos800.469sin8022oo1.04sin800.469cos802二、主应力及主平面位置求与z轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位d0d00(2sin2)(2cos2)02xyx00sin2cos202xyx02tan2xxy解得：代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：max22min()22xyxyxcos2sin222xyxyx可确定两个相互垂直的截面00,90即σmax、σmin作用面上τ=0，即α0截面为主平面，σmax、σmin为主应力。00sin2cos202xyx0002tan2xxy即σmax、σmin作用面是互相垂直的面，为α0截面和α0+90o截面。1.2.3.σmax作用面方位角度α0xyo045xyo045xy0xo0450xo045即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。max22min()22xyxyxmaxminxy4.三、最大切应力及其作用平面的位置求与z轴平行所有截面上的最大切应力及方位d0d11()cos22sin20xyx解得：1tan22xyx代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式max22min()2xyxsin2cos22xyx可确定两个相互垂直的截面11,901tan22xyx02tan2xxy即τmax、τmin作用面是互相垂直的面，为α1截面和α1+90o截面，且α1=α0+45o。11()cos22sin20xyx111cos2sin222xyxyx即τmax、τmin作用面上12xymaxminmax23.max22min()22xyxyx1.2.例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大PPTMWW作应力状态图0xymax22min()22xyxyxo0o4521arctan()245xxy圆轴扭转时表面各点σmax所在平面连成倾角为45o的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。x例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d=50mm，壁厚t=2mm，外力偶M=600N·m，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=πd2t/2。试用解析法求过点D指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。解：⑴求D点在横截面上的正应力、切应力3ND6201063.7MPa50210FFAdtD229P2(600)76.4MPa/250210TMWdt⑵作出D点的应力状态图63.7MPaxcos2sin222xyxyxsin2cos22xyx0y76.4MPaxo120D63.7MPaD76.4MPaoo63.763.7cos240(76.4)sin2402250.3MPaoo63.7sin240(76.4)cos240210.7MPa⑶求D点的主应力和主方向及最大切应力max22min()22xyxyx123114.6MPa050.9MPa2263.763.7()(76.4)22114.6MPa50.9MPa63.7MPax0y76.4MPax主应力作用面的方位角o0o56.31211276.4arctan()()2263.733.69xxyarctgxyoo1333.6956.31D点最大切应力13max114.6(50.9)82.75MPa2263.7MPax0y76.4MPax§13-3平面应力状态应力分析的图解法一、应力圆方程cos2sin222xyxyxsin2cos22xyx2222()()22xyxyx⑵应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。⑴以σ、τ为横、纵坐标轴，则上式表示以为圆心，为半径的应力圆。(0)2xy，22()2xyxcos2sin222xyxyx二、应力圆的作法建立σ-τ坐标系连接DE与横坐标轴交于C点，以点C为圆心、CD半径作圆在σ-τ坐标系中找到D(σx,τx)和E(σy,τy)两点三、应力圆的应用1.确定单元体斜截面上的应力以CD为基线，沿与α角转向相同方向转2α到新半径CH，则H点坐标表示截面α的σα、τα。H点横坐标0cos(22)OCCH00(cos2)cos2(sin2)sin2OCCDCDcos2sin222xyxyx00cos2cos2sin2sin2OCCHCHH点纵坐标0sin(22)CH00(sin2)cos2(cos2)sin2CDCDsin2cos22xyx00sin2cos2cos2sin2CHCH2.确定主应力的大小及主平面的方位A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。max22min()22xyxyxOCCA⑴A、B点对应正应力的极值⑶σmax作用面方位角度α0xyo045xyo045xy0xo0450xo045⑵CA、CB夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。0minmaxtanxxxyFDBF02tan2xxyDFCF3.确定最大切应力的大小及作用平面的位置K、J点对应的纵坐标表示最大、最小切应力。⑴最大（小）切应力max22min()2xyxCK⑵CK、CJ夹角为180o，所以τmax、τmin作用面的夹角为90o；同时τmax作用面的外法线可由σ1作用面的外法线逆时针转45o得到。⑶由应力圆可知maxminmax212xy应力圆单元体夹角两倍转向相同点面对应例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d=50mm，壁厚t=2mm，外力偶M=600N·m，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=πd2t/2。试用图解法求过点D指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。解：⑴求D点在横截面上的正应力、切应力3ND6201063.7MPa50210FFAdtD229P2(600)76.4MPa/250210TMWdt⑵作出D点的应力状态图63.7MPax0y76.4MPaxo120D63.7MPaD76.4MPa作应力圆，将ca沿逆时针转240o得d点（或将cb沿逆时针转60o得d点），该点坐标为所求截面的应力o12050.3MPao12010.7MPamax82.75MPa由应力圆可得123114.6MPa050.9MPa由应力圆可得ca到σ1对应点逆时针转过67.5ooo167.533.82oo3112.556.32ca到σ3对应点顺时针转过112.5o§13-4复杂应力状态的最大应力一、三向应力圆单元体作用三个主应力123平行于主应力σ1方向的任意斜面I上的正应力和切应力与σ1无关，可由应力圆I表示。同理：平行于主应力σ2和σ3方向的任意斜面II和III上的正应力和切应力分别与σ2和σ3无关，可分别由应力圆II和III表示。三向应力状态中空间任意方向面上的正应力和切应力对应于应力圆I、II、III所围阴影区域内某一点的坐标值。二、最大应力1.三向应力状态中最大（小）正应力max1min32.三向应力状态中最大切应力13max2最大切应力所在斜截面平行于σ2，其外法线与σ1所在的平面的外法线成45o。例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。解：由题可得120MPax40MPay30MPax30MPaz（主应力）max22min()22xyxyx主应力1130MPa230MPa330MPa最