三角函数所有基础知识归纳.

知识网络三角函数要点归纳一、三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．二、同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．三、诱导公式能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力的提高．四、三角函数的图象重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．五、三角函数的性质牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点整合一、三角函数的图象与性质【例1】已知函数f(x)＝log12(sinx－cosx)．(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．解：(1)x必须满足sinx－cosx0，即sinxcosx．利用单位圆中的三角函数线可得2kπ＋π4x2kπ＋5π4，k∈Z，∴函数定义域为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴f(x)不具备奇偶性．(3)∵f(x＋2π)＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数，最小正周期为2π.点评：三角函数性质是考试的重点和热点，要善于从题中所给的三角函数解析式中挖掘信息，达到解题的目的．【例2】如图，风轮的半径为40m，风轮中心O距地面的高度为50m，风轮做匀速转动，每3min转一圈，风轮上的点P的起始位置在最低点处．已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度H＝f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h(A0，ω0)，求2006min时点P距离地面的高度．解：解法一：依题意，A＝40，h＝50，T＝3，∴ω＝2πT＝2π3，故f(t)＝40sin2π3t＋φ＋50，由f(0)＝10得φ＝－π2，故H＝f(t)＝40sin2π3t－π2＋50.H＝f(2006)＝40sin2π3×2006－π2＋50＝70(m)，解法二：∵2006＝3×668＋2，可知第2006min时点P所在位置与第2min时点P所在位置相同，即从起点转过23圈，其高度为70m.点评：本题以风轮的周期性运动为背景，考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．对于这类三角函数模型的应用题，首先是要认真审题，透彻理解题意，然后将题中的文字信息转化为数学语言，建立函数模型，接着运用三角知识解答这个模型．二、三角函数的概念及诱导公式【例3】若点A(x，y)是600°角的终边上异于原点的一点，则yx的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析：由三角函数的定义可知，yx＝tan600°，而tan600°＝tan240°＝tan60°＝3，yx＝3，故选C.答案：C点评：本题考查三角函数的定义和诱导公式．三角函数的定义用到了单位圆，但这个定义可以引申为在角α的终边上任取不是原点的一点P(x，y)，先计算r＝|OP|＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.诱导公式是最不好记忆的，容易混淆，关键是要深刻理解“函数名不变，符号看象限”的含义．【例4】已知角α的终边经过点P(－8m，－33tan210°)，且sinα＝－35，则m的值为()A．－12B.12C．±12D.32解析：将P(－8m，－33tan210°)化为P(－8m，－3)，则r＝|OP|＝64m2＋9，由于sinα＝－3r＝－364m2＋9＝－35，所以64m2＋9＝5，解得m＝12或m＝－12，选C.答案：C点评：在用三角函数的定义解题时，既要注意角α所在的象限，又要注意参数的符号．三、三角函数式的化简与求值【例5】已知tanα是方程x2＋2cosαx＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．解：∵tanα是方程x2＋2cosαx＋1＝0的两个根中较小的根，而方程的两根之积为1，∴方程的较大根为1tanα.由根与系数的关系得tanα＋1tanα＝－2cosα，即1sinαcosα＝－2cosα，∴sinα＝－12.解得α＝2kπ＋7π6或α＝2kπ－π6(k∈Z)．当α＝2kπ＋7π6(k∈Z)时，tanα＝33，1tanα＝3，满足tanα1tanα；当α＝2kπ－π6(k∈Z)时，tanα＝－33，1tanα＝－3，不满足tanα1tanα.故α＝2kπ＋7π6(k∈Z)为所求．点评：本题把同角三角函数的基本关系式与一元二次方程结合起来考查，需要较强的计算能力和逻辑推理能力．【例6】已知2＋tanθ－π1＋tan2π－θ＝－4，求(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)的值．解：将2＋tanθ－π1＋tan2π－θ＝－4化为2＋tanθ1－tanθ＝－4，解得tanθ＝2，于是(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝4tanθ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.点评：本题若不善于逆用公式sin2θ＋cos2θ＝1，将会给解题带来困难．所以，对所学的三角公式，不仅要顺用，还要会逆用．