高二数学选修2-3离散型随机变量及其分布列

2.1随机变量及其概率分布1高二数学选修2-3定义思考复习引入问题提出本课小结思练学习目标：（1）了解随机变量、离散型随机变量的意义；（2）理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（3）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布；1前前面面,,我我们们学学习习了了概概率率有有关关知知识识..知知道道概概率率是是描描述述在在一一次次随随机机试试验验中中的的某某个个随随机机事事件件发发生生可可能能性性大大小小的的度度量量..复习回顾随随机机试试验验是是指指满满足足下下列列三三个个条条件件的的试试验验::①①试试验验可可以以在在相相同同的的情情形形下下重重复复进进行行；；②②试试验验的的所所有有可可能能结结果果是是明明确确可可知知的的，，并并且且不不只只一一个个；；③③每每次次试试验验总总是是恰恰好好出出现现这这些些可可能能结结果果中中的的一一个个，，但但在在一一次次试试验验之之前前却却不不能能肯肯定定这这次次试试验验会会出出现现哪哪一一个个结结果果。。思思考考::你你能能举举出出一一个个随随机机试试验验的的例例子子吗吗??并并说说明明该该随随机机试试验验的的所所有有可可能能结结果果..2举例1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数.举例2：某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.若用η表示所含次品数，η有哪些取值？若用ξ表示命中的环数，ξ有哪些取值？ξ可取0环、1环、2环、···、10环,共11种结果η可取0件、1件、2件、3件、4件,共5种结果思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？说明：(1)任何一个随机试验的结果都可以进行数量化；(2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.ζ=0，表示正面向上；ζ=1，表示反面向上举例说明ζ(截塔)3定义:如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量常用小写希腊字母ξ（克西）、η（艾塔）等表示。1.若随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.2.如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.注:(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数量来表达。如投掷一枚硬币：ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上.（2）若ξ是随机变量,且η＝aξ＋b（两者的线性关系），a、b是常数，则η也是随机变量.附:随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确定取何值。建构定义1、随机变量4练习一:写出下列各随机变量可能的取值:(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数．(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数．（3）抛掷两个骰子，所得点数之和．(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数．(5)某一自动装置无故障运转的时间．(6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度．离散型连续型（＝1、2、3、···、10）（内的一切值）0,30取（内的一切值）(0,)取（＝0、1、2、3）2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,121,2,3,5练习二:注:随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系.1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()(A)两次出现的点数之和(B)两次掷出的最大点数(C)第一次减去第二次的点数差(D)抛掷的次数D2.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定：一次购买小于或等于50只的不优惠.大于50只的，超出的部分按原价格的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量，那么他所付款η是否也为一个随机变量呢?ξ、η有什么关系呢？902.47.06)50(650N],80,50[本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。61.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为，则所有可能值的个数是____个；“”表示．4“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”．9答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得，也就是说“＞4”就是“＝5”．所以，“＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．55≤≤思思维维训训练练11::2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:(1)“ξ4”表示的试验结果是什么?(2)P(ξ4)=?71.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:(1)“ξ4”表示的试验结果是什么？(2)P(ξ4)=?2.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P(ξ=12)=___________（用式子表示）.答:(1)因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得，也就是说“＞4”就是“＝5”．所以，“＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．55≤≤13692101112538C思思维维训训练练22::8学学习习小小结结::1.随机变量是随机事件的结果的数量化．随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件。随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ε的自变量是试验结果。3.若ξ是随机变量，则η=aξ+b（其中a、b是常数）也是随机变量．2.随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。9思考：随机变量与函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域，我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。例如:在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是{0,1,2,3,4}.10课外练习:1.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km，则按每超出1km加收2元计费（超出不足1km的部分按1km计）．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按1km路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程多少是一个随机变量，他收旅客的租车费也是一个随机变量．（Ⅰ）求租车费关于行车路程的关系式；（Ⅱ）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：（Ⅰ）依题意得，即10)4(222（Ⅱ）由，得2238.15)1518(5,18即所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．11（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数ξ；解：ξ可取1，2，…，10.ξ＝1，表示取出第1号卡片；ξ＝2，表示取出第2号卡；……ξ＝10，表示取出第10号卡片；2.写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果；12（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；解：ξ可取0，1，2,3.ξ＝０，表示取出０个白球；ξ＝１，表示取出１个白球；ξ＝２，表示取出２个白球；ξ＝３，表示取出３个白球；13（3）抛掷两个骰子，所得点数之和是ξ；解:ξ可取2，3，4，…，12。ξ＝2，表示两个骰子点数之和是2；ξ＝3，表示两个骰子点数之和是3；ξ＝4，表示两个骰子点数之和是4；……ξ＝12，表示两个骰子点数之和是12；（4）连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数η解:可取1，2，…，n，…．i，表示第i次首次命中目标。142.1随机变量及其概率分布2高二数学选修2-3学习目标：（1）了解随机变量、离散型随机变量的意义；（2）理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（3）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布；定义分布列及相应练习思考1,2引入本课小结课堂练习15对对于于一一个个随随机机试试验验，，仅仅仅仅知知道道试试验验的的可可能能结结果果是是不不够够的的，，还还要要能能把把握握每每一一个个结结果果发发生生的的概概率率..引例：抛掷一枚骰子，所得的点数有哪些值？取每个值的概率是多少？1616161616(4)P(2)P(3)P(5)P(6)P16(1)P则P126543161616161616而且列出了的每一个取值的概率．该表不仅列出了随机变量的所有取值．解：的取值有1、2、3、4、5、6列成表的形式ξ的分布列新课导入ξ的分布表16ξ取每一个值的概率123,,,,ixxxxξx1x2…xnpp1p2…pn则此表称为随机变量的概率分布表，简称的分布表.(1,2,)ixi设离散型随机变量ξ可能取的值为1.定义:概率分布（ξ分布列与分布表）思考:根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出分布列有什么性质？注:离散型随机变量的分布具有下述两个性质：(1)0,123ipi，，，≥123(2)1ppp建构定义则此式称为随机变量的概率分布列，简称的分布列.17练习1.随机变量ξ的分布为解:(1)由离散型随机变量的分布性质有ξ-10123p0.16a/10a2a/50.3练习2.已知随机变量的分布如下：P－2－13210112161121314112分别求出随机变量⑴11222；⑵的分布．（1）求常数a;（2）求P(1ξ4)(2)P(1ξ4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42解得：（舍）或20.160.31105aaa910a35a18解：⑴由112可得1的取值为－1、12、0、12、132且相应取值的概率没有变化∴的分布为：1P－1101121611213141122121321练习2:已知随机变量的分布如下：P－2－13210112161121314112分别求出随机变量⑴11222；⑵的分布列．1921(9)(3)12PP∴的分布为：22解:(2)由可得的取值为0、1、4、9222(0)(0)PP1;32(4)(2)(2)PPP1111264P09411213141132练习2:已知随机变量的分布列如下：P－2－13210112161121314112分别求出随机变量⑴11222；⑵的分布．20思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试写出ξ的分布.解:随机变量ξ的可取值为1,2,3.当ξ=1时,即取出的3只球中的最小号码为1,则其它两球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,则有P(ξ=1)==3/5;2345/CC同理可得P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.因此,ξ的分布列如下表所示ξ123p3/53/101/10思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布.(1)两次掷出的最大点数ξ;(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η.21思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布