27.2.1相似三角形的判定

27.2相似三角形第一课时第二课时第三课时第四课时人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定平行线分线段成比例定理及其推论第一课时返回1.相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，，那么△ABC与△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？导入新知111111CBBCCAACBAABABCA1B1C11.理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系.素养目标3.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.请分别度量l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,它们的比值还相等吗？猜想ABCDEFl2探究新知l1除此之外，还有其他对应线段成比例吗？l2l3l4l5知识点1平行线分线段成比例定理233432BCAB若，那么?EFDE若，那么43BCAB?EFDE即ABDEBCEF事实上，当l3//l4//l5时，都可以得到，还可以得到，，等.ABCDEFl3l4l5l1l2EFDEBCABDEEFABBCDFDEACABDFEFACBC通过探究，你得到了什么规律呢？探究新知一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c，则，，12122323AABBAABB归纳：A1A2A3B1B2B3bc23231212AABBAABB12121313AABBAABB，23231313AABBAABB…a探究新知1.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？【想一想】探究新知1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()A.B.C.D.DFBDCEACBFBDAEACCEDFAEBFACBDBFAEDACEBDFl2l1l3巩固练习如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直线l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.探究新知知识点2平行线分线段成比例定理的推论【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCDEFl3l4l5l1l2探究新知图1图2（1）A（D）EFCB【思考】如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？探究新知图1图2（2）ABCDEFl3l4l5l1l2BCEADl1l2l3l4l5l2l3l1l3ll平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll探究新知归纳：巩固练习2.如图,l1∥l2∥l3，，DE＝6，求DF的长．23BCAB解：∵l1∥l2∥l3，∴.又∵，DE＝6，∴，解得EF＝4.∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.EFDEBCAB23BCAB236EFl1l2l3例1如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.∴AE=3.解：∵AC=4，EC=1，∵DE∥BC，∴∴AD=2.25，∴BD=0.75.ACAEABAD探究新知素养考点1利用平行线分线段成比例定理及推论求线段3.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．1cm巩固练习如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.问题1△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？问题2分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？BCADE探究新知知识点3相似三角形的判定定理问题3你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.探究新知BCADE【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？探究新知用相似的定义证明△ADE∽△ABCBCADEABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，过E作EF//AB交BC于F,∵四边形DBFE是平行四边形F∴DE=BF∴△ADE∽△ABC探究新知ADAEABACAEBFACBC∴BCDEACAE∴ADAEDEABACBC则已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB，AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC.“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）探究新知定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.符号语言：∵DE//BC∴△ADE∽△ABC．【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．探究新知4.已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.3CDABEFO相似具有传递性巩固练习连接中考巩固练习（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．A322143531.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，BC=4cm，EF长（）AA.1cmB.cmC.3cmD.2cmABCEF43课堂检测基础巩固题2.如图，DE∥BC，，；FG∥BC，，则.ABAD52ACAE25ABCEDFG2CGAGABAF23课堂检测基础巩固题3.如图，在△ABC中，EF∥BC.（1）如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，FC=4，那么AF的长是多少？ABCEF解：∵AEAFBEFC，∴774AF，解得AF=4.课堂检测基础巩固题(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？解：∵AEAFABAC，∴6510AC，基础巩固题解得.325AC3105325AFACFCABCEF课堂检测如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB.ODOFOAOCOFOEOCOB，.ODOEOAOB证明：∵DF∥AC，∵EF∥BC，课堂检测能力提升题如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，AF=4cm，求菱形的边长.解：∵四边形ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴.CDDFAEAF设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x）cm，∴解得∴菱形的边长为cm.454xx，209课堂检测拓广探索题920x两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本事实平行线分线段成比例课堂小结三边成比例的两个三角形相似第二课时返回ABCDEDEOBC学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？探究探究！讨论一下？导入新知2.会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.1.复习已经学过的三角形相似的判定定理.素养目标1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.如何判断两个三角形是否相似?∵DE∥BC∴△ADE∽△ABCDEABCABCDE2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.A型X型探究新知知识点1三边对应成比例的两三角形相似还有没有其他简单的判断方法呢？A'B'B'C'A'C'ABBCAC是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三边对应成比例探究新知C′B′A′ABCC′B′A′通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.下面我们用前面所学的定理证明该结论.探究新知已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,A′B′C′ABCDE过点D作DE∥BC交AC于点E.又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.因此DE=B′C′,EA=C′A′.∴△A′B′C′∽△ABC∴△ADE≌△A′B′C′探究新知由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．归纳：ACCACBBCBAAB∵，∴△ABC∽△A′B′C.符号语言：探究新知【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？【方法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．探究新知例1已知AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=24cm，试说明△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′＇探究新知素养考点1利用三边成比例判断三角形相似解：∵61183BCBC41123ABAB81243ACA'C'ABBCACABBCA'C'∴探究新知方法点拨判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应.1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是_________________．2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）相似C三组对应边的比相等巩固练习A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④例2如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，且求证：△A′B′C′∽△ABC.12A'B'A'C'.ABAC证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.∴BC=2B′C′，''1''''.2BCABACBCABAC探究新知素养考点2判断三角形相似3.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴111=222DEACDFBCEFAB，，，∴1=2DEDFEFACBC