流体力学第十章-相似原理和因次分析

量纲分析及相似理论第九章概述对于大多数粘性流体流动的工程问题难以用微分方程加以描述，或者即使能够建立微分方程式，由于初始条件和边界条件不能用数学方法给定，目前还不能求得精确解，只能作出一些假设和推断求得近似解，这些近似解是否合理，只能依靠试验验证。但这些结果只能应用于与试验条件相同的流动现象，有很大的局限性。一.相似理论的提出1.对流动规律的试验结果的推广如何做模型试验？思考：飞机图例大坝图例2.流体力学的模型实验随着工业的发展，涉及流体动力学的整机和部件都很大，很复杂。比如，飞机的设计，大坝的设计等。这些设计方法都要依赖于试验，但这些试验又无法在实物上进行只能通过模型试验进行。二.模型试验要解决的问题1.如何根据实物正确的设计和布置模型实验，例如：模型尺寸如何确定？介质如何选取?２.怎样整理模型试验的结果并将整理的结果还原到实物，并进行应用推广？第一节力学相似的原理两流动的相似是指：一个流动某点的运动参数由另一个流动相应点的同名参数乘以对应点均相同的因子得到，称两流动相似。相似的流动应遵从同一数学物理方程。具体的说两流动相似应满足几何相似、运动相似和动力相似三个条件。一.几何相似几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度成比例，且对应的特征角度相等。mmlppldld长度比例系数：2mAlpAA面积比例系数：3mVlpVV体积比例系数：模型流动用下标m表示原型流动用下标p表示模型流动用下标m表示原型流动用下标p表示二.运动相似（时间相似）运动相似是指：模型与原型的流场所有对应点上对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比例相等，即它们速度场相似。速度场相似ltv时间比例系数：22vlvattl加速度比例系数：1212nnvmmuuvv速度比例系数：val三.动力相似动力相似是指模型与原型的流场所有对应点上作用在流体微团上的各种同名力彼此方向相同，且它们大小的比例相等，即它们的动力场相似。mFpFCF力比例系数：3222()()Fmalltlv综上所述：要使模型流动和原型流动相似，需要两者在时空相似的条件下受力相似。其中：运动相似是流体流动相似的表现；几何相似是流体流动相似的前提条件；动力相似是流体流动相似的保证。第三节动力相似的准则(模型率)相似原理说明两个流动系统相似必须在几何相似、运动相似和动力相似三个方面都得到满足。但实际应用中，并不能用定义来检验流动是否相似，因为通常原型的流动是未知的。这就产生一个问题：有什么其它办法能保证两个流动相似呢？一.相似准则的提出maF3122mmmmmlvtlvpppppFVvtFVvt221Flv二.相似准则的推导流体的运动必须符合牛顿第二律，对模型和原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并根据动力相似，各种力大小的比例相等，可得：也可写成：NevlF22令：Ne称为牛顿数，它是作用力与惯性力的比值。Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性力的比值，是无量纲数。由此可知，模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必相等。注：作用在流体微团上的力有各种性质的力，如重力、粘滞力、压力、弹性力等。但不论何种性质的力，要保证两种流场的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则。由此可导出单项力相似的准则。在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。mmymmmFvlpppyppdvdAFFdvdA221Flvk1uvlvlRepppmmmlvlvRe－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。1.粘滞力相似准则代入如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，采用模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中流速为多少？算一算：解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺数应相等：pmReRelmppmkllvv1pmsmvp/5.2所以：pppmmmlvlv由题意知：120lsmvm/50因为：在重力作用下相似的流动，其重力场相似。3gmmmmFlggppppFVgFVg2.重力相似准则221Flv121vlgFrlgvlgvpppmmm2121Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。代入A：0.01B：1000C：10D：10000答案:c设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少cm3/s?想一想Frlgvlgvpppmmm2121在压力作用下相似的流动，其压力场相似。2pmmmFplppppFPAFPA代入21pvEuvpvppppmmm22Eu-欧拉数，压力与惯性力的比值。3.压力相似准则221Flv4.其它的相似准则数①弹性力相似准则对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。（Ca——柯西数Ma——马赫数，惯性力与弹性力的比值）。②非定常相似准则对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时间的变化必相似。（Sr——斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。③表面力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。（We——韦伯数，惯性力与张力的比值）。三.完全相似和不完全相似动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。例如：粘滞力相似：由得重力相似：由得pppmmmlvlvpm1pmpmllvvlpmReRepmFrFrpppmmmlgvlgvpmgg1pmpmllvvl由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。一、因次分析的概念和原理第四节因此分析法1、因次因次是物理量的性质和类别，是同一物理量各种不同单位的集中抽象。单位除表示物理量的性质外还表示物理量的大小。因次又称为量纲。如：s单位：km，m，cm，mm等t单位：hour，min，second等s-----具有长度的量纲[L]t-----具有时间的量纲[T]V-----具有速度的量纲[T][L][V]同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]，[L]，[T]等。导出量纲-----由基本量纲导出,如密度：dim=ML-3表面张力：dim=MT-2压强：dimp=ML-1T-2体积模量：dimK=ML-1T-2速度：dimv=LT-1动力粘度：dim=ML-1T-1加速度：dima=LT-2比定压热容：dimpcL2T-2-1运动粘度：dim=L2T-1比定容热容：dimvcL2T-2-1力：dimF=MLT-2气体常数：dimR=L2T-2-1一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相同。2、方程因此一致性20at21tVs221TLTTLTLLLL-----方程两端具有相同量纲量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。二、因次分析法（一）瑞利法1.定义：根据量纲量一致性原则，确定相关量的函数关系。312123......naaaanykxxxx假定物理量y是x1、x2等的函数。则关键的问题是怎么根据量纲一致性原则确定各个x的指数。【例】已知三角堰流的流量vq主要与堰顶水头H、三角堰堰角、流体密度和重力加速度g有关，试用瑞利法导出三角堰流量的表达式。2.举例：三角堰【解】按照瑞利法可以写出体积流量Hgfqv,,,（a）选取gH,,为量纲无关量，则有cbavHgfq)(即：3132[][][][]abcLtMLLtL解得：25;21;0cba即：fHgqv2521当取2时，constf2当重力加速度g不变时，三角堰流量与堰顶水头H的关系为：2525~HCHqv其中c只能用实验方法或其他方法确定。【例】不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿管道的压强降p与管道长度L，内径d，绝对粗糙度，流体的平均流速v，密度和动力粘度有关。试用瑞利法导出压强降的表达式。【解】按照瑞利法可以写出压强降654321aaaaaavdkLp（b）如果用基本量纲表示方程中的各物理量，则有654321113121aaaaaaTMLMLLTLLLTML根据物理方程量纲一致性原则有对L65432131aaaaaa对T642aa对M651aa六个指数有三个代数方程，只有三个指数是独立的、待定的。例如取31,aa和6a为待定指数，联立求解，可得642aa,651aa,6312aaaa代入式（b），可得2631vvdddLkpaaa（c）由于沿管道的压强降是随管长线性增加的，故11a。式（c）右侧第一个零量纲量为管道的长径比，第二个零量纲量为相对粗糙度，第三个零量纲量为相似准则数1/Re，于是可将式（c）写成2Re,2vdLdfp（d）令dfRe,，称为沿程损失系数，由实验确定，则式（d）变22vdLp令gphf，则得单位重量流体的沿程损失为gvdLhf22这就是计算沿程损失的达西-魏斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。三、定理：定理可以解决瑞利中方程的个数等于待定系数的缺点.内容如下(一)内容1.选取影响流动的n个物理量写出下述函数关系如(1)2.选择m个独立变量，原则是要既相互独立，又包含三个基本量纲.一般选:几何尺度速度质量量纲分析法12(.....)0nFxxxlv13LLTML12nnnxxx3.用n–m个无量纲写出准则方程(2)4.求(3)5.将带入(2)式，求得准则方程第五节量纲分析法12(......)0nmfii2121iiiiiiabciinnniiabcnnnxxxxxxxx【例】试用定理导出不可压缩粘性流体在粗糙管内的定常流动压强降的表达式。【解】根据与压强降有关的物理量可以写出物理方程式0,,,,,,vdLpF式中有7个物理量，选取,,vd为基本量，可以用它们组成4个零量纲量，即1111cbavdp，2222cbavd，3333cbavdL，4444cbavd用基本量纲表示1中的各物理量，得1113121cbaMLLTLTML根据物理方程量纲一致性原则有：对L11131cba对T12b对M11c解得1,2,0111cba，故有:Euvp21用基本量纲表示2中的各物理量，得2223111cbaMLLTLTML根据物理方程量纲一致性原则有：1,1,1222cba，故有Re12vd用基本量纲表示3和4中的各物理量，得相同的量纲4,34,34,331cbaMLLTLL根据物理方程量纲一致性原则有：0,0,14,34,34,3cba，故有dL3；d4将所有值代入准则方程，可得22Re,22vdLvdLdfp【例4-9】机翼在空气中运动时，翼型的阻力FD与翼型的翼弦b，翼展L，冲角，翼型与空气的相对速度v，空气的密度，动力粘度和体积模量K有关。试用定理导出翼型阻力的表达式。【解】根据与翼型阻力有关的物理量可以写出物理方程式0,,,,,,,vbLKFFD选取,,vb为基本量，可以组成的无量纲量为1111cbaDvbF；2222cbavb；3333cbavbK