等比数列性质

1等比数列的常用性质．由通项公式an＝a1qn－1易推得：(1)在等比数列中，任两项之间的关系an＝amqn－m(m，n∈N*)．(2)在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项积相等．即有a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….课前热身2(3)若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则有am·an＝ap·ak.其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，若m＋n＝2p，则有am·an＝a2p.(4)在等比数列{an}中，an≠0，当公比q0时，an0或an0；当q0时，anan＋10，称为摆动数列(正、负项相间隔).3等比数列还有如下性质等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)当q1，a10，或0q1，a10时，数列为递增数列；当q1，a10，或0q1，a10时，数列为递减数列；当q＝1时，数列为常数列；当q0时，数列为摆动数列．4(2)数列{λan}(λ为不等于0的常数)仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq′的等比数列；数列{1an}是公比为1q的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．5(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.(4)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．6(6)等比数列中的任意一项均不为0，即an≠0.(7)等比数列中从第二项起任一项是它前后两项的等比中项，即a2n＝an＋1·an－1(n≥2).7题型一等比数列性质的应用例1.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.分析利用若m＋n＝k＋l，则aman＝akal解题．8解由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.解方程组a3a8＝－512，a3＋a8＝124，且q为整数，得a3＝－4，a8＝128，或a3＝128，a8＝－4.(舍去)q＝5a8a3＝－2.∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.9规律技巧本例主要考查等比数列的性质及解方程组的能力，当然若将条件化为a1，q的形式，亦可求解，只不过麻烦一些罢了，因此，在解题时，要灵活运用性质解题.10变式训练1(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，求a8a9a10a11.(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.11解(1)解法1：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.解法2：由已知得a1q6·a1q11＝a21q17＝5，∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a41·q34＝(a21·q17)2＝25.12(2)∵a1a9＝a3a7＝64，∴a3，a7是方程x2－20x＋64＝0的两根．解得a3＝4，a7＝16，或a3＝16，a7＝4.①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4，得q4＝4.∴a11＝a7q4＝16×4＝64.13②若a7＝4，a3＝16，则由a7＝a3q4，得q4＝14.∴a11＝a7q4＝4×14＝1.故a11＝64，或a11＝1.14题型二等比数列的运算例2在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．15解析设插入的三个数依次为a2，a3，a4，其中设a1＝83，a5＝272.因为这5个数成等比数列，∴a2a3a4＝a33.∵a1a5＝a23，∴a23＝83×272＝36.∵a3＝83×q2，∴a30，∴a3＝6，故a2a3a4＝a33＝63＝216.答案21616规律技巧本题主要考查等比数列的通项公式的应用及等比数列的相关性质，解题时需注意，等比数列中符号是隔项相同.17变式训练2(2010·河南郑州二模)设等比数列{an}中，a1，a7是方程2x2－7x＋4＝0的两个根，则log2a1－log2a4＋log2a7＝()A.12B.2C．1D．218解析由韦达定理，得a1·a7＝42＝2.∴a24＝a1·a7＝2，又a40，∴a4＝2.∴log2a1－log2a4＋log2a7＝log2a1·a7a4＝log2a4＝log22＝12log22＝12.答案A19题型三等差、等比数列的综合应用例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．分析因为所求三数成等差数列，且其和已知，故可设这三数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a，d的两个方程，通过解方程组即可获解．20解设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，解此方程组得a＝5，d＝2，或a＝5，d＝－10.(舍去)∴所求三数为3,5,7.21规律技巧此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解.另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将很复杂.因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少.22变式训练3有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数．23解解法1：由前三个数成等差数列，可设前三个数为a－d，a，a＋d，设第四个数为a4，则a＋d2＝a·a4，①a－d＋a4＝16，②a＋a＋d＝12.③显然a≠0，否则由①得d＝0，将a＝0，d＝0代入③出现矛盾．24由①②得a＋d2a＝16－a＋d.④由③得d＝12－2a，代入④得a2－13a＋36＝0，∴a＝4，或a＝9.相应地，d＝4，或d＝－6.于是所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.25解法2：设第一个数与第二个数分别为x，y，则由已知可得第三个数为12－y，第四个数为16－x.根据前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，可得x＋12－y＝2y，y16－x＝12－y2，由此解得x＝0，y＝4，或x＝15，y＝9.于是这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.26已知{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a5.错解由等比数列的性质知，a25＝a1·a9＝64，∴a5＝±8.错因分析上述解法忽略了对a5符号的讨论，实际上，在等比数列{an}中，当公比q0时，an·an＋10，即相邻两项同号；当q0时，an·an＋10，即相邻两项符号相反，也可以说，在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号，本例中，由a1·a9＝64，a3＋a7＝20知，奇数项应为正值．因此a5＝8.27正解∵a3·a7＝a1·a9＝64，又a3＋a7＝20，解得a3＝16，a7＝4，或a3＝4，a7＝16.当a3＝16，a7＝4时，q4＝a7a3＝14，∴q2＝12，∴a5＝a3·q2＝16×12＝8，28当a3＝4，a7＝16时，q2＝2，∴a5＝a3·q2＝4×2＝8.综上，知a5＝8.