14.1-小波分析的基本原理

第14章小波分析方法小波分析的基本原理小波分析的应用实例小波分析，是在Fourier分析基础上发展起来的一种新的时频局部化分析方法。小波分析为现代地理学研究提供了一种新的方法手段，对于一些多尺度、多层次、多分辨率问题，运用小波分析方法进行研究，往往能够得到令人满意的结果。第1节小波分析的基本原理小波与小波函数小波变换及其性质小波变换的时-频特性与局部化能力离散小波变换小波分解一、小波与小波函数记是定义在整个实数轴R上满足条件（14.1.1）的全体可测函数及其相应的函数运算和内积所组成的集合。那么，小波就是函数空间中满足下述条件的一个函数或者信号：（14.1.4）或者（14.1.5）)(2RLxxfd)(2)(xf)(xd)(*2RC0dωΨ(ω)R)(2RL通常，被称为母小波或小波母函数。对于任意的实数对，其中，参数a必须为非零实数，称如下形式的函数（14.1.6）为由小波母函数Ψ(x)生成的依赖于参数的连续小波函数，简称为小波。其中，a称为伸缩尺度参数，b称为平移尺度参数。)(x),(ba)(1)(,abxaXba),(ba几个比较典型的小波：（1）Shannon小波：（2）Gaussan小波：（3）Morlet小波：（4）Mexican帽子小波：ttttΨ)sin()2sin()(22)(texG22)(ticxeex222)1()(tetxH图14.1.1以Mexican帽子小波为母小波的小波在选择不同的a与b的值的波形变化式中，为小波方差，为小波系数。二、小波变换及其性质对于任意函数或者信号f(x)，其小波变换为：xabxxfaxxxfbaWRRbafd)()(1d)()(),(),(（(14.1.7)小波方差：bbaWaWRffd),()(2)(aWf(,)fWab若以a为横坐标、为纵坐标，作小波方差图，则它反映了能量随尺度a变化的分布情况。)(aWf小波变换的基本性质：1.Parseval恒等式(14.1.9)小波变换和Fourier变换一样，在变换域保持信号的内积不变。2dd),(),(d)()(2ababaWbaWxxgxfCgRRf2．小波反演公式在中，小波变换有如下反演公式（14.1.10）如果函数f(x)在点连续，则有如下定点反演公式(14.1.11)小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是没有信息损失的,保证了小波分析在变换域对信号进行分析的有效性。2),(dd)(),(1)(*abaxbaWCxfbaRRf20),(0dd)(),(1)(abatbaWCxfbaRRf)(2RL0tt3．吸收公式与吸收逆变换公式当吸收条件(14.1.12)成立时，可得到如下吸收Parseval恒等式(14.1.13)d)(d)(020220dd),(),(d)()(21aabbaWbaWxxgxfCgf也可以得到相应的吸收逆变换公式（14.1.14）对于空间L2(R)中的任何函数或者信号f(x)，它所包含的信息完全被由a0所决定的半个变换域上的小波变换所记忆。这是Fourier变换不具备的。20),(dd)(),(2)(aabtbaWCxfbaf},0:),({RbabaWf三、小波变换的时-频特性与局部化能力（一）小波变换的时-频特性设g(t)，而且，当时，则称g(t)是一个窗口函数。容易验证，对任意的参数（a,b），小波函数及其傅立叶变换都满足窗口函数的要求。)()(2RLtg02gtttgd)(2)()(21),(abtatba)(ed)(1)(),(aΨaateabtΨaΨibtiba中心和窗宽分别为和，以及和。连续小波的时窗：[，]，频窗为：[，]。小波函数的时-频窗，是一个可变的矩形：[,]×[,]。其时-频窗面积为：)()(),(aEbEba)(||)(),(abaaΨEΨEba/)()(),(aΨΨba/)()(),()(,tba)()(aaEb)()(aaEbaΨaΨE/)(/)(aΨaΨE/)(/)()(,tba)()(aaEb)()(aaEbaΨaΨE/)(/)(aΨaΨE/)(/)()()(4]/)(2[)(2ΨaΨa（二）小波变换的局部化能力从频率域的角度来看，小波变换已经没有象Fourier变换那样的“频率点”的概念，取而代之的则是本质意义上的“频带”的概念；从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的“时间点”处的变化，而是体现了原信号在某个“时间段”内的变化情况。四、离散小波变换（一）二进小波和二进小波变换如果小波函数ψ(x)满足稳定性条件则称ψ(x)为二进小波，对于任意的整数k，记显然，它是连续小波的尺度参数a取二进离散数值的特例。BAjj2)2())(2(2)(2),2(bttkkbk)(),(tba（kka2对于函数f(t)，其二进离散小波变换记为，定义如下：(14.1.17)其小波变换的反演公式是（14.1.18）)(bWkft(t)ψf(t),b)(W(b)W,b)(Rkfkfkd22bttbWtfbkRkfkkd)()(2)(),2(其中，函数满足(14.1.19)称为二进小波ψ(t)的重构小波。需要说明的是，重构小波总是存在的，譬如，可取：显然，重构小波一般是不唯一的，但重构小波一定是二进小波。)(*t1)2()2(*kkk2*)2(/)()(kk(二)正交小波和小波级数设小波为ψ(t)，如果函数族(14.1.21)构成空间L2(R)的标准正交基，即满足下述条件的基：则称ψ(t)是正交小波，其中符号δ(m)的定义是0001)(mmm称为Kronecker函数。ZZjkjttkkjk),(:)2(2)(2,)()(d)()(),(,,,,njlktttRnljknljk这时，对任何函数或信号f(t)，有如下的小波级数展开其中，系数由公式给出，称为小波系数。jkA,kjjkjktAtf)()(,,tttffAjkRjkjkd)()(),(,,,(14.1.22)(14.1.23)一个最简单的正交小波，即Haar小波，其定义为这时，函数族构成函数空间L2(R)的标准正交基。)1,0[0121201)(11tttthZZkjkththjjkj),(:)2(2)(2,五、小波分解通过小波分解，将时域信号分解到不同的频带上。根据范数为1的规则，在一个给定的小波族如Symmlet里有两种类型的小波：父小波：,母小波：,1d)(ttΦ)22(22/,jjjkjktΦΦ0d)(ttΨ)22(22/,jjjkjktΨΨ(14.1.24)(14.1.25)任何函数f(t),都可以表示为如下形式的二进展开式：kkkkkJkJkkJ,kJ,kkJkJtΨdtΨd(t)ΨdtΦstf)(...)()()(,1,1,1,1,,式中:,,ttΦtfskJkJd)()(,,ttΨtfdkjkjd)()(,,j=1,2,…,J，J为最大尺度。f(t)还可表达为：11......)(DDDDStfjJJJ式中:kkJkJJtΦsS)(,,JjtΨdDkkjkjj,...,2,1,)(,,这样，信号f(t)的多分辨分解为：JJJDSS1其中，SJ对应于最粗的尺度。更一般地，有：jjjDSS1},...,,{11SSSJJ},...,,...,,,{11DDDDSjJJJj2j2是函数f(t)精细水平递增的多分辨逼近序列，相应的多分辨分解为：。尺度是分辨率的倒数。