KZK-方程推导

KZK方程简介与推导KZK方程描述了有限宽波速在非线性、吸收介质中的传播，是由前苏联科学家Khokhlov、Zabolotskaya和Kuznetsov于二十世纪七十年代提出来的。KZK方程的数学表示形式如下：2223220323322000()222cpppppzccxy式中p为声压，z为声波传播方向，0tzc为延时时间，0c为小信号声速，为热粘滞介质的扩散系数，为介质的非线性系数，0为介质密度，,xy为径向坐标。方程的右边第一项代表了衍射作用（抛物线近似条件下），第二项代表了热粘滞吸收作用，第三项代表了非线性作用。在公式的推导中，0zvc、0、pp近似为一阶小量，表示为00~,~,~zvpcp，其中为一阶小量。而xv、yv是切向速度分量，与波束的发散性有关，将0xvc、0yvc近似为1.5阶小量，表示为：332200~,~yxvvcc。KZK方程式根据连续性方程、运动方程以及物态方程等推导出来的。由连续性方程得（爱因斯坦简写）：i,()ivvt（）（1）式中为介质密度，v为质点振动速度。由运动方程得：,,tiijijpvvv（2）对流体介质物态方程，在平衡状态附近展开可得：222000012ppcc（3）式中0p和0是没有声波时介质的声压和密度，为介质密度的变化量，是定压比热和定容比热之比。忽略的三次方及高次项，取前三项，加上热粘滞吸收作用，得222000012ppcc（4）又由（1）可得：,,()iiivv（5）考虑吸收不是很大，忽略非线性项，得到：()yxzvvvxyz（6）将（4）（6）代入（1）并做变量代换，将等式左边整理为一阶小量，高次项置于等式右边，忽略二次以上小量，得：00000()cccyxzzzzvvvvvvxyz（7）将（4）（5）代入（2），在x、y、z三个方向，分别并做变量代换得到：（整理方法同7式）2000222000001(1)ccczzzzvvvvczc（8）2000xvcx（9）2000yvcy（10）用微扰法分析（7）（8）（9）（10），（7）（8）式左边为一阶小量，（9）（10）式没有一阶小量。因此另（7）（8）式左边为0，得：00zcv（11）由（7）（8）（9）（10）（11）得：222322023322000()222czccxy（12）其中，(1)2，为非线性系数。又由（4）（6）代入（14），忽略二次以上小量，得到：2223220323322000()222cpppppzccxy（13）