结构力学(一)第三版龙驭球第5章-虚功原理及结构的位移计算

第5章虚功原理及结构的位移计算知识点:结构位移的概念及类型虚功原理及应用结构位移计算的一般公式静定结构在荷载作用下的位移计算图乘法静定结构由于支座移动、温度改变引起的位移计算线弹性结构的互等定理教学基本要求:掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化等引起的位移计算。熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、梁和刚架位移计算的图乘法。掌握线弹性结构的互等定理掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移与广义荷载的概念。了解曲杆和拱的位移计算。虚功原理及应用重点：图乘法及应用难点：虚功原理的理论解释图乘法的图乘技巧1.结构的位移xyAAFP线位移角位移DC相对线位移CDDCFP相对角位移§5.1结构位移计算概述荷载作用下还有什么原因会使结构产生位移?位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。引起结构位移的原因：荷载、温度改变T、支座移动c、制造误差等t为什么要计算位移?2.计算位移的目的1）刚度要求。如：在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；高层建筑最大位移1/1000高度。最大层间位移1/800层高。铁路工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700和1/900跨度(3)理想联结3.本章位移计算的假定2)超静定要求3）施工要求叠加原理适用(1)线弹性(2)小变形线性变形体系1）一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的力广义功：广义力×广义位移之总和虚功：广义力在对应广义位移但无关时所作的功W=FP1×Δ11orW=FP2×Δ22W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21W=FP×Δ力FP功§5.2虚功原理（理论难点）1.刚体体系的虚功原理一个力系作的总虚功W=∑P×P---广义力;---广义位移PFPFW例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶MWMABMM3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶MMMMWBABA)(4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PFPFABPBAPBPAPFFFFW)(PF1PF2PFW虚功:虚功:AAMW虚功P:广义力:广义位移两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2力状态位移状态q总结虚功的两种状态：注意：两种状态（3）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相互对应（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件（变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。）；力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；2）刚体体系的虚功原理02120qlxqdWlxel力状态lq力状态△位移状态位移状态0210qlxlqdWlxe外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功Wi=0Wi=0xdxxdxqlql2/2ql/2ql/2按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系的虚功原理：在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），则外力虚功为零。特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。3)刚体虚功原理的两种应用既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种应用形式。（1）虚功原理用于实际已知的平衡力状态与虚设的协调位移状态之间—虚设位移状态求已知力状态的未知力—虚位移原理.建立力状态力状态..建立虚设的位移状态位移状态…利用虚功原理求解abFFFPxPPx单位位移状态0PPxxFF第一种应用：xX1单位位移法(1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状态的平衡方程，即0BM几点说明：(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(2)所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移特点:用几何法来解静力平衡问题。刚体虚位移原理：BPxMbFaF0已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。abFFPx例求图示多跨梁B的支座反力、E截面的弯矩0432211PPBYFFFPPPBYFFFF2462BEACD11/23/4虚设的位移状态2a2a2aaaBEACDFP2FP力状态BEACDFBYFP2FP0EM0221aFaFMPPEBEACDMEFP2FP力状态BACDE1aa/2虚设位移状态如右图，已知支座A向上移动一个已知位移,现求c点竖向位移FP位移状态力状态单位力状态.利用已知的位移状态..建立虚设的力状态…建立虚功方程求解第二种应用：(2)虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态之间—虚设力状态求已知位移状态下的位移—虚力原理几点说明：(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程，是把几何问题转化为平衡问题。特点:是用静力平衡法来解几何问题。(2)因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故可设单位广义力P=1，称为：单位荷载法(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。刚体的虚力原理已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移例题（1）C点的竖向位移c（2）杆CD的转角l3l23lABCDABCD13132ABCD1l21l2l23已知位移Ac求:cAc03111AccAcc3102112AclAcl21所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得kRkcF定出方向。（2）建立虚功方程01kRkcF2.变形体的虚功原理根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总结得出变形体的虚功原理：在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠，约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：ieWW1）单根变形直杆虚功方程的建立力状态位移状态整体平衡、局部平衡变形协调根据微段dx的三类变形，可求得微段两端截面的三种相对位移：微段dx局部变形包括三部分：xdd0平均剪应变：轴线曲率：1kxudd相对轴向位移：相对剪切位移：xdd0相对转角位移：xxkddd1相对位移是描述微段变形的三个基本参数。dddu轴线伸长应变：xuddxudd建立虚功方程外力虚功：内力虚功：微段上的内力虚功：整个变形体的内力虚功为：单根变形直杆的虚功方程：xxQxNwQuNwiMkddFdFMddFdFd0BAxxQxNBAwiiMkddFdFdw0BAxxQxNxBAMkddFdFdqpu0)(0xQxNBAxdFdFMkdP注意：P为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、集中荷载、约束反力等。也是广义位移，包括角位移、线位移等。2）杆系结构虚功方程的建立)(0sQsNBAsdFdFMkdP变形体虚功原理的注意点：.虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。..以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。…虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。….刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式3）变形体虚功方程的应用虚力原理虚位移原理)(0sQsNBAsdFdFMkdP将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过——单位荷载法。下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为:§5.3计算结构位移的一般公式—单位荷载法)(0sQsNBAsdFdFMkdP设待求的实际广义位移为Δ,与Δ对应的广义力为P。设仅在广义力P=1作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为FN、FQ、和M。又设与内力FN、FQ和M对应的微段实际变形分别为、uddd和实际位移状态虚设的力状态FN、FQ、Mdsuddd则杆系结构虚功方程为:则杆系结构虚功方程改写为：位移计算的一般公式iRisssNcFkdMdFdF0dMdFdFCFCFCFFuNRRRKPK332211一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。BA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21ddP1dP1AB?AB(e)C(f)C左右=？P=1P=1P=1P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1P=1iissscFkdMdrFdFR0QN仅在荷载作用时的位移计算一般公式对于由线弹性直杆组成的结构，有：EIMkGAkFEAFPPPPPP1,,Q0NspsPsPdkMdrFdF0QN§5.4静定结构在荷载作用下的位移计算式中：E弹性模量；G剪切模量；A横截面积；I截面惯性矩；k截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。dQQNNPsEIMMGAFFkEAFFPPP轴向剪切弯曲公式的适用范围：只适用于线弹性结构。这些公式的适用条件是什么?内力的正负号规定如下：轴力以拉力为正；NN,FFP剪力使微段顺时针转动者为正；QQ,FFP弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。MMP,例：求刚架A点的竖向位移。解：构造虚设力状态（实际位移状态）分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：（虚拟力状态）qxxPFQqlqlPFN荷载内力图xxlMx1PFQ1PFN单位内力图x221qxPM221ql将内力方程代入公式：讨论：2254~)(,58~)(,1~)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy轴向剪切弯曲GAsFFkEAsFFEIsMMPPPAydddQQNN)54581(85224GAlkEIAlIEIql引入符号56,12,3kbhIbhA22)(252~)(,)(152~)(lhGElhQAyNAy问题：的取值范围是什么？GE)1(2EG5.0032GE设杆件截面为bh的矩形截面杆，有：%13.0)()(,%2.0)()(MAyNAyMAyQAy因此,对受弯细长杆件,通常略去FN,FQ的影响。取：，有：101lh5.2GE5001~)(,7501~)(QAyNAy)500175011(854EIqlAy即：几点讨论（只有荷载作用）：