行列式的定义

第二章矩阵第一章行列式第三章向量线性代数第四章线性方程组第六章二次型第五章矩阵的特征值与特征向量§2行列式的性质与计算§1行列式的定义§3行列式的展开定理第一章行列式§4克拉默法则§1行列式的定义一、二阶、三阶行列式二、排列及其逆序数三、n阶行列式的定义§1行列式的定义用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x1、二阶行列式的引入一、二阶、三阶行列式§1行列式的定义;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.§1行列式的定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)4(22211211aaaa定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即.2112221122211211aaaaaaaaD§1行列式的定义11a12a22a12a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式§1行列式的定义.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD§1行列式的定义.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD§1行列式的定义.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD§1行列式的定义则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx§1行列式的定义例1.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721§1行列式的定义2、三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.§1行列式的定义323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD§1行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa§1行列式的定义如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0利用三阶行列式求解三元线性方程组2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.§1行列式的定义;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD若记333231232221131211aaaaaaaaaD或121bbb§1行列式的定义,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD得§1行列式的定义2-43-122-4-21D计算三阶行列式例２解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14§1行列式的定义.094321112xx求解方程例3解方程左端1229184322xxxxD,652xx2560xx由解得3.2xx或§1行列式的定义自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组:11112211211222221122,,().nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb它的解是否也有类似的结论呢？§1行列式的定义为此，我们需要解决如下问题：2）n阶行列式的性质与计算？1）怎样定义n阶行列式？3）方程组(＊)在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？§1行列式的定义1、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有6123二、全排列及其逆序数§1行列式的定义2、全排列及其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理§1行列式的定义在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序§1行列式的定义定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31010故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.§1行列式的定义计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性§1行列式的定义分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;§1行列式的定义3251401031于是排列32514的逆序数为13010t.55的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;§1行列式的定义例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134§1行列式的定义221212223231kkkkkk解0tkkk21112,2k当为偶数时，排列为偶排列，k当为奇数时，排列为奇排列.k112kkk112kkkkkk1323222121201122k§1行列式的定义1、概念的引入三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．三、n阶行列式的定义§1行列式的定义（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312t112332aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号.)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaa§1行列式的定义2、n阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa§1行列式的定义为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中tnpppn2121nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111§1行列式的定义说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121.1t§1行列式的定义例1计算对角行列式0004003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41p若,011pa从而这个项为零，所以只能等于,1p4同理可得1,2,3432ppp解§1行列式的定义0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例2计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211§1行列式的定义分析展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11npn,1,2,3123ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211nnntaaa2211121.2211nnaaa解§1行列式的定义例3?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541§1行列式的定义同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa§1行列式的定义n21.12121nnn;21nn21例4证明对角行列式（熟记）§1行列式的定义n