第三章-监测网平差及参考点稳定性检验

变形监测理论与应用第三章监测网平差及参考点稳定性检验厦门理工学院计算机与信息工程学院主要内容§3.1概述§3.2监测网经典平差§3.3秩亏自由网平差§3.4监测网拟稳平差§3.5参考点稳定性检验方法3.1概述一、测量控制网的分类（测量控制网的分类（P44P44））独立网当控制网中只有一套起算数据时，称为独立网。附合网、非独立网当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据的网，称为附合网；等于必要起算数据，称独立网。秩亏自由网缺乏必要起算数据，控制点位置难以确定或缺乏必要观测数据一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等，一般为秩亏自由网。3.1概述二、平差模型平差模型独立网附合网、非独立网秩亏自由网秩亏自由网平差经典平差以网中部份相对稳定点重心为基准(简称拟稳基准)的拟稳自由网平差在变形分析中，笼统地说那种平差方法最好是不合适的，问题的关键在于平差方法中所定义的参考系是否与实际变形情况相符合。因此，实际中，要根据具体情况选择恰当的变形参考系。3.1概述3.2监测网经典平差一、间接平差原理minPVVT022)(PAVdXdVPVdXPVVdTTT0PVATAXVL误差方程式：设观测值权为P，根据最小二乘原理：求极值，有：3.2监测网经典平差PlANXT1lEPAANlAXVT)(1PlAANAXVllT1PlANXT平差值:PlAPAXAlAXPATTT0)(3.2监测网经典平差例：1112223310ˆ11ˆ01vlxvlxvl选定x3的高程为已知，则可列出误差方程为：3.2监测网经典平差法方程：系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异，方程有唯一解：经典平差法的条件：是在控制网中必需设定足够的坐标起算数据；121232ˆ210ˆ12llxllx121232ˆ21ˆ12llxllx3.2监测网经典平差问题：起算数据误差或大小对移动有没有影响？二、监测网经典平差监测网经典平差结论：如如果控制点保持稳定，两果控制点保持稳定，两期观测方案（网形期观测方案（网形和观测值权的分配）相同和观测值权的分配）相同，，起算数据误差或大小对移动没有影响。3.2监测网经典平差二、监测网经典平差监测网经典平差①任选一点为起算点，进行平差，确定各点的高程（坐标）。②分析确定各稳定点，将上述平差后的高程（坐标）作为这些稳定点的已知高程，然后以这些稳定点为固定点对各期进行平差计算。③根据各期观测网点的高程（坐标）确定网点的变形值。当网中有多个稳定点时，可按下列步骤计算：3.2监测网经典平差P51(-21)-13.7mmmmmmHP4623.1037.13476.103mmHHd7.13476.1034623.1034、求变形量141.102200.100265.101455.1032431hHHhHHhHHhHHPDPCPBAP225.3190.2314.1455.34321hhhh12)(13)(7)(0)(044033022011CPBPDPAPHHhlHHhlHHhlHHhl4623.1033.7455.1030mmmHHHPPP如果：两期观测的坐标近似值不相同。取两期观测的坐标近似值不相同。取pp点近似值为点近似值为103.455103.455mmHHd10476.1034623.103mmHHd7.13476.1034623.1037.3mm-13.7mm近似值103.455：近似值103.476：3.3秩亏自由网平差一、问题的提出问题的提出一是网中可能有多个稳定点，选择不同的稳定点作为起算点时，其平差结果肯定不同，因而可能有多组平差解；一是可能很难预先确定变形网哪些点是绝对不动的。当变形网作为经典网平差时的两个问题：1971年，E.Mittermayer提出――秩亏自由网平差，这种方法的主要特点是：不预先假定固定点，所有网点等同看待，即所有网点坐标都视为待定量。但由于缺少起算数据，按这种方法组成法方程后，求出的法方程系数矩阵是秩亏的。下面举例说明。在A中，任意二阶行列式不为0，由矩阵理论可知。3232212111lxVlxxVlxV2)(ARlAAXATT12N0212)(AR设有一水准网，按经典网平差选3点为已知点，则:即：011V11021xx321lll－法方程：即：2121ll1221xx32ll＝故，满秩，法方程由惟一解：3x21,xx2)(AR2)(AR如果网中不设起算点，即把与则上述水准网的误差方程为：011V110101321xxx321lll－此时系数矩阵A的行列式为：011A1100101110110，故，A为降秩，由此所得的法方程系数阵有：112N1210211120321，故，N为秩亏的矩阵（奇异矩阵），其凯来逆N-1不存在。等同地看作未知数，此时的法方程为相容方程，按经典平差方法不能得到惟一解。二、网秩亏的几何意义网秩亏的几何意义3.3秩亏自由网平差A及N产生秩亏可能有两种原因：1.是缺少必要观测值,这种秩亏一般称为形亏2.是缺少必要的已知数据，这种情况一般称数亏。对秩亏网的讨论主要是针对数亏网的研究。3.3秩亏自由网平差思考：水准网、测角网、测边网、边角网以及GPS网的秩亏数各是多少？三、秩亏数秩亏数dd的计算的计算3.3秩亏自由网平差1.如果无固定点（没有限制x，y方向的平移），产生的秩亏数为2。2.如果无固定方向（没有限制网的旋转），产生的秩亏数为1。3.如果无固定边也没有边观测值（没有限制比例尺伸缩），产生秩亏数为1。4.如果无起算高程（没有限制高程方向的平移），产生的秩亏数为1。•对于测角网的秩亏数为2＋1＋1＝4；•测边网或边角网的秩亏数为2＋1＝3；•高程网的秩亏数为1。•用公式表示为：三、秩亏数的计算（秩亏数的计算（P54P54））3.3秩亏自由网平差测角网：4)()(tNRAR测边网、边角网：3)()(tNRAR高程网：1)()(tNRARGPS网秩亏网呢？四、秩亏自由网平差秩亏自由网平差————直接解法直接解法3.3秩亏自由网平差秩亏自由网平差的函数模型为相应的误差方程为随机模型为法方程为111ˆˆnnuunLBXdˆVBxl22100LLDQPˆ0TTBPBXBPlAAAAA四、秩亏自由网平差秩亏自由网平差————直接解法直接解法3.3秩亏自由网平差问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定的估计量;解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基础上附加另外条件;附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量是最优的.这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!四、秩亏自由网平差秩亏自由网平差————直接解法直接解法3.3秩亏自由网平差设满足法方程的一个解为X,取其平方和的开方为称为向量X的范数,几何意义是向量的长度。最小范数满足条件,称为最小范数条件,其表达式为法方程若有一解X满足其范数最小,这个解就称为最小范数解。1222212()TnXXXxxxminminTXXX或四、秩亏自由网平差秩亏自由网平差————直接解法直接解法3.3秩亏自由网平差VlAXPlANXT对于误差方程：求得法方程为：minPVVTminXXT条件极值原理：取一阶导数为0，得022NKXXTTNKX)(2PlANXKXXTTT附加条件：借鉴：代入法方程，有：PlANNKT1)(PlANNNXT1)(NN仍是秩亏的，但PlANNNXT1)(却是惟一的lEPANNANlAXVT))((1PlANNKTNKXPlANXT观测改正数：可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子（已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0，即为NN的一个广义逆。单位权方差：dtnPVVsT求：1)(NN因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的，故X有唯一解！3.3秩亏自由网平差VlAX11ttddXBl为了消除秩亏的目的，需要引入d个的观测方程。现设附加观测为自由网平差的观测方程写成如下形式：ddTIBBdnTOAB附加观测方程式中各个观测方程间应线性无关。即要求满足有此外附加观测值与原观测值之间也应彼此线性无关，即XBAll于是观测方程为：四、秩亏自由网平差秩亏自由网平差————伪观测方程法伪观测方程法(P57)(P57)OPBATTBAXBAIOOPllIOlBPlAXBBPAATTTT)(BBPAANTT11NQ或令法方程：则有：)()(11lBPlAQlBPlANXTTTT现在的问题是如何确定B和。l3.3秩亏自由网平差3.3秩亏自由网平差因N具有秩亏d，故N的特征值中必有d个为零，对应这个零特征值，必存在d个线性无关的特征向量,,…,，由此构成矩阵:用左乘式得ONBT（1）确定B当OSINiti)(1)(i)(iS令N的特征值为，相应特征向量为，则特征dtdtttOSNSBTOAS，就转化为。因此有取dnTOABPATTABOPABATT由，即向量方程为：)1((SSdt)2(S)(dS….)0iOSINi)(3.3秩亏自由网平差在自由网中，伪观测值既然未观测，给定任意就有无穷组解。按自由网平差最小范数原则：（2）再确定llminXXT)()(11lBPlAQQlBPlAXXTTTTTT求导并令其为零：OBQBQlBQBPAQllDXdXTTTTT111122OBBBBABBBBAQBQAQTTTTTT111111)()()(11)(TTTBBBBQIBBPAAQTT)(1BBQIPAAQTT11定义OABT右乘TB所以（1）式中必须Ol（1）至此，和已确定，，需将S标准化，令S的标准化向量为G,即取，使TSBOlIBBT还要求TGBIGGTOAG，因此，原方程加上伪观测方程为XGAOlT此方程由惟一的最小二乘解。其解为:PlAGGPAAXTTT1)(XSAOlTPlAXSSPAATTT)(伪测方程另外一种形式：法方程PlASSNPlASSPAAXTTTTT11)()(解为:3.3秩亏自由网平差秩亏网测边网或边角网：水准网：各类自由网S和G的确定——参考系方程01012401xySTm010110yx020201xy020210yx.........0001mmxy0010mmyx0101yST0110x0200y0200x.........000my000mx测角网：GPS网：1(TS00)000133TmS010100001010100001010100例题：按全组合测角法对测