振型分解反应谱法基础知识

地震作用分析的振型分解反应谱法1基础知识1.1多自由度系统振型的正交性多自由度体系动力学特征方程为2[]{}[]{}KM将上式分别对应到第i和第j阶振型，可得22[]{}[]{}[]{}[]{}iiijjjKMKM将上式分别左乘{}Tj和{}Ti，得到222j{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}TTjiijiTTTTijjijijjiKMKMKM两边转置注意到[K]和[M]为对称矩阵，故转置是成立的，于是有22(){}[]{}0TijjiM当ij的时候，ij，此时：{}[]{}0()TjiMij代入动力学特征方程又有：{}[]{}0()TjiKij以上结论说明多自由度系统关于刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]是正交的。1.2地震反应谱为便于求解地震作用，将单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T的关系定义为地震加速度反应谱，简称地震反应谱。单自由度体系一般地面运动强迫振动（见单自由度受迫振动相关内容）的解由Duhamel积分可知()01()()sin()nttgDDxtxetd上式求二阶导()20()(){[1()]sin()2cos()}()nttnnDgDDgDDxtxettdxt，当nD时，()0()()sin()()nttngngxtxetdxt得到质点绝对加速度最大值表达式()max0max()()()()sin()nttagngnSTxtxtxetd其中2nnT。地震加速度反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线。1.3地震影响系数与地震反应谱的关系()()()anannmSTSTaTGg具体涉及到设计反应谱的编制内容将另外撰文总结2质点i在任意时刻的水平相对位移反应由振型的正交性可知，1{}、2{}，……，{}n相互独立，故体系的位移反应向量{}x可表示成1{}{}njjjxq其中jq可理解为{}x在线性空间{}j下的坐标值，且jq是时间的函数。有阻尼多自由度体系在地震作用下的运动方程如下[]{}[]{}[]{}[]{1}gmxCxKxMx，其中gx为地面加速度用振型向量表示，得1([]{}[]{}[]{}[]{1}njjjjjjgjmqCqKqMx两边左乘{}Ti得1({}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{1}nTTTTijjijjijjigjmqCqKqMx由振型向量的正交性，当振型关于阻尼矩阵也正交的时候，即{}[]{}0TijCij，有{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{1}TTTTiiiiiiiiiigmqCqKqMx(*)由方程2{}[]{}{}[]{}TTiiiiiKM可知2{}[]{}{}[]{}TiiiTiiKM如果令{}[]{}2{}[]{}TiiiiTiiCM，{}[]{1}{}[]{}TiiTiiMM，(*)式可化简为22iiiiiigqqqx其中i称为第i阶振型的阻尼比，而i称为第i阶振型的振型参与系数由Duhamel积分可求以上n个独立的关于iq的微分方程的解为()01()()sin()iittiigiDiDqtxetd，其中21iDini为第i阶振型的有阻尼固有频率注意到阻尼比为i，自振频率为in的单自由度体系在地震作用下的动力方程22iniingx的解为()01()sin()iinttgDDxetd由此可知，()it实际是阻尼比为i，自振频率为i的单自由度体系在地震作用下的地震位移反应。于是()()iiiqtt多自由度体系地震位移反应的解为11{()}(){}{()}nnjjjjjjxttxt其中{()}(){}jjjjxtt为体系第j阶振型的地震反应。质点i在第j阶振型下的水平相对位移为()()ijjjjixtt3质点i在任意时刻的地震惯性力i质点在任意时刻的水平相对位移反应为1()()nijjjijxtt求二阶到，可得任意时刻的水平相对加速度反应为1()()nijjjijxtt将单位向量表示为{}i的线性组合，有11{1}{}{}[]{1}{}[]{}{}[]{}nnTTTiijijijjjiiamamam正交性{}[]{1}{}[]{}TjjjTjjmam所以11{1}{}()()()nniigjjigijxtxt。故质点i任意时刻的水平地震惯性力为11[()()][()()]nniigijjijgjijjfmxtxtmtxtf其中jif为质点i的第j振型水平地震惯性力[()()]jiijjijgfmtxt4质点i的第j振型水平地震作用质点i第j振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即maxmax|||()()|jijiijjijgFfmtxt()()jgtxt是自振频率为j，阻尼比为j的单自由度体系的地震绝对加速度反应，由地震反应谱的定义可知()()()ajjgSTtxt于是，可将质点i的第j振型水平地震作用表达为()jiijjiajFmST或者jiijjjiFG5振型组合由振型j各质点水平地震作用，按静力分析方法计算，可得体系振型j最大地震反应jS，从而估计特定体系最大地震反应S，由SRSS法（另外整理）得估计方法为2jSS