经典几何模型之“阿氏圆”

经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O（一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连），即连接OB、OP；第二步：计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况，如例子中的kOBOP第三步：在OB上取点C，使得OBOPOPOC；（核心关键步骤）第四步：连接AC，与⊙O的交点即为点P【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB上取点C构建OBOPOPOC的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。将图2中△BPO单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO与△BPO有公共角∠O，且OBOPOPOC（在某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O、∠B=∠OPC）（构造出△PCO∽△BPO后可以得到OBOPOPOC，进而推出OCOBOP2，即“半径的平方=原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC长度“阿氏圆”即可破解）四.“阿氏圆”典型例题讲解例1：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP21的最小值.解答：如图2，连接CP，因为CP=2，AC=6，BC=4，简单推算得31ACCP，21CBCP，而题目中是求“AP+BP21”其中的“k=21”，故舍弃在AC上取点，应用“21CBCP”，所以在CB上取一点D，使CD=1，则有21BPPDCBCPCPCD，无论P如何移动，，△PCD与△BCP始终相似，故PD=BP21始终成立，所以AP+BP21=AP+PD，其中A、D为定点，故A、P、D三点共线时最小，AP+BP21=AP+PD=AD=22CDAC=37（思考：若求13BPPA呢？）（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.解答：首先连接OP，因为OP=6，OA=3，OB=5，所以21OPAO、65OPBC，题目求的是“2PA+PB”，其中的“k=2”与之相关的是21OPAO，故在OA上取点，考虑到是2PA，故在OC上取点H，使OH=12，则有21PHAPOHOPOPOA，无论P如何移动，△PAO与△HPO始终相似，故PH=2PA始终成立，所以2PA+PB=PH+PB，其中H、B为定点，故H、P、B三点共线时最小，2PA+PB=PH+PB=22OBOH=13.（思考：若求65APPB呢？）例3：如图1，已知AC=6，BC=8，AB=10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD、BD，则AD+BD21的最小值为？解答：首先连接CD，因为CD=4，CB=8，CA=6，所以21CBCD、32CACD，题目求的是“AD+BD21”，其中的“k=21”与之相关的是21CBCD，故在CB上取点，故在CB上取点H，使CH=2，则有21BDHDCBCDCDCH，无论P如何移动，△DHO与△BDC始终相似，故HD=BD21始终成立，所以AD+BD21=AD+DH，其中H、A为定点，故H、D、A三点共线时最小，AD+BD21=AD+DH=10222ACCH.（思考：若求23BDAD呢？）例4：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，且满足CD=2，则AD+BD32的最小值？解答：此题关键在于看出是“阿氏圆模型”，首先从问题看，可能是“阿圆”，接着题目条件“CD=2”更加确定此题有隐藏圆，如图2，D在r=2的⊙C上，下面步骤完全与上相同，故略。答案：4103例5：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，则AP+PB21的最小值？解答：如图2，连接CP，口算32CACP、21CBCP，故选择在CB上取点，构造“核武器”“母子型相似模型”，取点H，使CH=1，则有21BPPHCBCPCPCH，所以无论P如何移动，△PCH与△BCP始终相似，故PH=BP21始终成立，所以AP+PB21=AP+PH，其中H、A为定点，故H、P、A三点共线时最小，AP+PB21=AP+PH=1022ACCH.（思考：若求23BPAP呢？）例6：如图1，正方形ABCD边长为4，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则2PD+PC4的最小值？解答：此题，初学者有可能会陷入误区，以为很难，因为按照前面题的套路21BCBP、21BABP（因为前面我们都是比较这三条线段啊），感觉好像和“2PD+PC4”没关系啊！实际上对“阿氏圆”套路的理解不够深，我们研究的线段是圆心到“一动两点”，在此题中，“一动”指的是“动点P”，“两定”不是指A、C，而是要看问题“2PD+PC4”问题中P为动点，C、D才是定点，故本题应该比较21BCBP，42242BDBP，故选择在BD上取点H（如图2），使得BH=22，则有42PDPHBDBPBPBH，所以无论P如何移动，△PBH与△DBP始终相似，故PH=42PD始终成立，所以2PD+PC4=4（PC+42PD）=4（PC+PH），其中H、C为定点，故H、P、C三点共线时最小，2PD+PC4=4（PC+42PD）=4（PC+PH）=4CH，CH=225)27()21(2222MCPM，故答案为102.（思考：若求12PDPC呢？）例7：如图1，在已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PCPD63的最小值？解答：比较BP、BC、PD，得63BDBP，21BCBP，故在BD上取点H，使得BH=33，故63PDPHBDBPBPBH，所以PH=63PD，PCPD63=6（PC+63PD）=6（PC+PH）=6111222MCHM（思考：若求12PDPC呢？）例8：在平面直角坐标系中，A（2,0）、B（0,2）、C（4,0）、D（3,2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是？解答：首先从问题，大概看出是“胡不归”或者“阿氏圆”的问题，然后P是动点，但是AB是定线段，∠BPA=135°是定值，属于“定弦定角”“隐圆模型”，故构建⊙O，如图2，然后下面过程略，答案：42例9：如图1，在Rt△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB、PC，则3PC+2PB的最小值？解答：如图2，取AH=4，△APH∽△ABP，故PH=32BP，所以3PC+2PB=3（PC+32BP）=3（PH+PC）=3CH，利用∠CBA=60°BC=8，可以求出BH=4，进而可知HM=1，CM=34，故CH=7五.“阿氏圆”实战训练练1：如图，在边长为4的正方形ABCD内，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为？（答案：23）练2：如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为？（答案：37）练3：（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣21x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求21AM+CM它的最小值．答案：（1）224yxx（2）G（-2,4）（3）①E（-2,0）、H（0，-1）②522练4：（2018西北工业大学附属中学中考模拟压轴题）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并说明BD=CE；【问题探究】（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+21PD的最小值；【问题解决】（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=18,BC=25，点M是矩形内部一动点，MA=15，当MC+53MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+53MD的最小值.答案：（1）略（2）7.5（3）1452欢迎大家扫码关注我的微信公众号“小段说数学”