小升初奥数圆柱和圆锥体积

第二讲圆柱和圆锥---体积体积公式推导底面积高圆柱体积公式长方体的体积＝底面积×高圆柱体的体积＝底面积×高圆锥体积公式圆锥体积公式结论：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一V柱=ShV锥=Sh÷3典型例题精讲例1.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米。将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？解答S底=2×2×3.14=12.56（平方厘米）h高=50.24÷12.56=4（厘米）S增加=4×2×2=16（平方厘米）答：表面积增加了16平方厘米。例2.在一个圆柱形水桶里放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块。如果把钢块浸没在水中，桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起8厘米，桶里的水面就会下降4厘米。求圆柱形钢块的体积？解析先求出露出水面的圆柱形钢块的体积，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等，所以可求出圆柱形水桶的底面积。又因为当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等，所以可以求出圆柱形钢块的体积。等积转化是本题的考察重点内容。解答解：V钢=3.14×5×5×8=628（立方厘米）下降4厘米的水的体积与拔出8厘米圆柱形钢块的体积相等S水桶=628÷4=157（平方厘米）当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等。上升的水的体积157×9＝1413（立方厘米）答：圆柱形钢块的体积是1413立方厘米。例3.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？解析将圆心切成四块，需要切两刀，增加四个相等的长方形，每个长方形的面积是48÷4=12（平方厘米）。如果切成三个圆柱体，需要用两刀，也增加4个面，是4个相等的底面，每个底面的面积是S底=50.24÷4=12.56（平方厘米），因为2×2×3.14=12.56（平方厘米），所以半径=2厘米，直径是4厘米，高=12÷4=3厘米。圆柱体积V=12.56×3=37.68立方厘米，削成一个最大的圆锥，减少圆柱体积的三分之二，减少37.68÷3×2=25.12立方厘米.例4.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图：已知它的容积为400毫升。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少毫升。26解答将倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一个圆柱体。因为：V=Sh所以：S=V÷hh=6+2=8（厘米）400毫升=400立方厘米S底=400÷8=50（平方厘米）V=50×6=300（立方厘米）=300（毫升）答：瓶内酒精的体积是300毫升。2厘米6厘米例5.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水多少升？12rr12hh解答解设：小圆锥的高度是2厘米，则大圆锥的高度是4厘米，设小圆锥的底面半径是1厘米，则大圆锥的底面半径是2厘米。V小=1×1×π×2÷3=2π÷3V大=2×2×π×4÷3=16π÷3V大：V小=8：150×8=400（升）答：这个容器最多能装水400升。12rr12hh例6.在一个底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中，取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高？0.5厘米d=40厘米解答R=40÷2=20厘米，r=10÷2=5厘米S柱=20×20×3.14=1256（平方厘米）S锥=5×5×3.14=78.5（平方厘米）V锥=1256×0.5=628（立方厘米）h锥=628×3÷78.5=24（厘米）答：铸件的高是24厘米。例7.如图所示，皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有的体积浸在水中，问皮球掉到水桶中后，水面升高了多少厘米？（注：皮球的体积为）54r334π解析解：皮球的体积是：水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）答：水面升高了0.5厘米。课后作业如图，在一个正方体的前后面和侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。