2019-2020第一学期数学分析期末考试试题

微信公众号：学术之星编辑发布（共5页，第1页）2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1.设数列nx单调增，ny单调减，且0lim=−→nnnxy，则（A）（A）nx、ny均收敛（B）nx收敛，ny发散（C）nx发散，ny收敛（D）nx、ny均发散2.设函数)(1)(3xxxf−=，其中)(x在1=x处连续，则0)1(=是)(xf在1=x处可导的(A)（A）充分必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分但非必要条件（D）既非充分也非必要条件3.设0()0fx=是)(xf在0x取得极值的（D）（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充要条件；（D）既非充分条件也非必要条件.4.设()353−=xy，下述结论正确的是（A）（A）()0,3是曲线)(xfy=的拐点；（B）3=x是)(xf的极值点；（C）因为)3(f不存在，所以()0,3不是曲线)(xfy=的拐点；（D）当3x时，曲线)(xfy=为凹的，当3x时，曲线)(xfy=为凸的.5.设xeexfxx1arctan11)(11+−=，则0=x是)(xf的（C）（A）连续点（B）第一类（非可去）间断点（C）可去间断点（D）第二类间断点6.设)(xfy=且21)(0=xf，则当0x时，在0x处dy是（B）(A)与x等价的无穷(B)与x同阶但不等价的无穷小；(C)比x高阶的无穷(D)比x低阶的无穷小二、填空题（本大题10分，每小题2分）微信公众号：学术之星编辑发布（共5页，第2页）1.若)(0xf存在，则=−−→000)()(lim0xxxfxxxfxx000()()fxxfx−．2.曲线21xyxe=的渐近线方程是0x=．3.设==teytexttcos2sin，则曲线上点(0,1)M处的法线方程是12=+yx．4.设xxxf2sin)(2=，则)2()20(f=19202．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin)1()cos1(limxexxxx−−→答案与评阅要点：由于0→x时，2~cos12xx−，22~sinxx，xex~1−所以21)(2limsin)1()cos1(lim22020−=−=−−→→xxxxxexxxxx2.（5分）求极限()tan2limsinxxx→；答案与评阅要点：令()tansinxyx=,lntanlnsinyxx=.22221coslnsinsinlimlnlimlimcotcscxxxxxxyxx→→→==−2limsincos0xxx→=−=，所以原式=01e=.3.（5分）求极限30sin(1)limxxexxxx→−+答案与评阅要点：2331()2!3!xxxexox=++++，33sin()3!xxxox=−+3333001()sin(1)16limlim6xxxxoxexxxxx→→+−+==4.（5分）计算不定积分33tansecxxdx答案与评阅要点：xdxx33sectan=xxdxsecsectan22−=xxdxsecsec)1(sec22.sec31sec5135Cxx+−=微信公众号：学术之星编辑发布（共5页，第3页）5.（5分）计算不定积分+−dxxxxx5cossinsincos答案与评阅要点：+−dxxxxx5cossinsincos++=5cossin)cos(sinxxxxd.)cos(sin4554Cxx++=6.（5分）计算不定积分−dxxx224答案与评阅要点：设2sin()22xtt=−，则2cos.dxtdt=−dxxx224=tdtttcos2cos2sin42dtt−=)2cos1(2Ctt+−=2sin2.4212arcsin22Cxxx+−−=7.（5分）计算不定积分xdxxln3答案与评阅要点：xdxxln3=)4(ln4xxd−=dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx+−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()fx在],[ba上二阶可导，0)()(==bfaf．证明存在一点),(ba，使得)()()(4)(2afbfabf−−．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222ababfabffafaaa+++=+−+−1()2aba+2()()()()()()2222ababfabffbfbbb+++=+−+−2()2abb+（5分）两式相减，因为0)()(==bfaf，得2211()()[()()]()08fbfaffba−+−−=，记12()max{(),()}fff=，则2222112111()()()()()(()())()()()884fbfaffbaffbafba−=−−+−−即)()()(4)(2afbfabf−−，证明完毕．（5分）微信公众号：学术之星编辑发布（共5页，第4页）2.(10分)证明数列nx收敛，其中11x=，113()2nnnxxx+=+，1,2,n=，并求limnnx→．答案与评阅要点：1131()23322nnnxxx+=+=，21313()022nnnnnnnxxxxxxx+−−=+−=，故有1nnxx+（5分）故nx单调减有下界，从而limnnx→存在设limnnxA→=，在113()2nnnxxx+=+两边取极限得13()2AAA=+，从而3A=（5分）3.（15分）设函数()fx定义在区间(,)ab上：（1）（5分）用−方法叙述()fx在(,)ab上一致连续的概念；（2）（5分）设01a，证明1()sinfxx=在(,1)a上一致连续；（3）（5分）证明1()sinfxx=在(0,1)上非一致连续．答案与评阅要点：（1）对0，0，对12,(,)xxab，只要12xx−，就有12()()fxfx−（5分）（2）对0，取2a=，12,(,1)xxa，只要12xx−，12121212111111()()sinsin2cossin22xxxxfxfxxx+−−=−=121222121211xxxxxxxxaa−−−==故1()sinfxx=在(,1)a上一致连续．（5分）（1）在(0,1)内取2nxn=，2(1)nxn=+，取012=，对0，只要n充分大总有2(1)nnxxnn−=+，而1201()()sinsin122nnfxfx+−=−=，微信公众号：学术之星编辑发布（共5页，第5页）故1()sinfxx=在(0,1)非一致连续．（5分）4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim()xfx→+的归结原则，并应用它limsinxx→+不存在．(2)（5分）叙述极限lim()xfx→+存在的柯西收敛准则;并证明limsinxx→+不存在.证明：(1)设()fx在[,)a+有定义．lim()xfx→+存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a+,当limnnx→=+时当limnnx→=+时且趋于+的数列{}nx，极限lim()nnfx→存在且相等．取2,2,2nnxnxn==+则limlim2,nnnxn→→==+limlim(2),2nnnxn→→=+=+但lim()limsin(2)0,nnnfxn→→==lim()limsin(2)1,2nnnfxn→→=+=lim()lim(),nnnnfxfx→→故lim()xfx→+不存在．（5分）(2)设函数()fx在[,)a+有定义,则极限lim()xfx→+存在的充要条件是:对于任何0,存在正数0(),MMa当12,xxM时有12|()()|.fxfx−对于012=及任意正整数M,取122,2,2xMxM=+=则有1,xM2,xM且有1201|()()|sin2sin21,22fxfxMM−=+−==所以limsinxx→+不存在.（5分）试题来源：微信公众号学术之星