Levy过程与随机计算读书报告

湖南师范大学研究生课程论文论文题目Levy过程与随机计算读书报告课程名称Levy过程与随机计算姓名***学号*********专业概率论与数理统计年级2***级学院数学与计算机科学学院日期年月..................................................................................................(以下内容由任课老师填写)研究生课程论文简要评语评阅教师签名：年月日得分：Levy过程与随机计算读书报告姓名：***学号：**********这学期我们在邓老师的带领下学习了Levy过程与随机计算这门课程，通过这门课程的学习，我对Levy过程有了初步的了解，并掌握了一些随机分析和随机计算的知识。下面就针对Levy过程的一些知识点做一些总结，其中包括Levy过程的定义，性质，定理，和一些例子（如Brownian运动，Gaussian过程，Poisson过程，复合Poisson过程等）以及它们的Levy特征，还简单介绍了ItoLevy分解定理。首先，先回顾一下几个重要知识点:无穷可分：X称为无穷可分的，若对于,Nn存在n个相互独立同分布的随机变量)()(2)(1,,,nnnnYYY使得X与)()(2)(1nnnnYYY同分布。KhichineLevy定理：是dR上的一个Borel概率测度，是无穷可分的存在向量dRb，正定对称dd矩阵A，}0{dR上的一个Levy测度，使得对于dRu，均有)}()](),(1[),(21),(exp{)(}0{ˆ),(dyyyuieAuuubiudRByui其中)0(ˆ1BB.Levy特征：)(tX的特征函数)())(,()()()(utXuitXeeEu（dRu），我们称映射CRd:为Levy特征一、Levy过程的定义：设概率空间为,,F为概率空间，}0),({ttXX为定义在该空间上的一个随机过程，我们称X是一个Levy过程，若X满足以下几条：);.(0)0(:)1(saXLXL:)2(有独立平稳增量，即对于,0,121ntttNn）（njtXtXjj1),()(1相互独立;且)()(1jjtXtX与)0()(1XttXjj同分布;XL:)3(是随机连续的，即对于0))()((lim,0,0asXtXPsast.注：在),1(L)2(L满足的条件下，)3(L等价于0))((lim,00atXPat.二、Levy过程的几条性质，定理；1、若X是一个Levy过程，则对于)(,0tXt是无穷可分的（即对于XNn,可以表示成n个相互独立同分布随机变量的和）。2、若)0),((ttXX是随机连续的，则对于dRu，映射)()(uttX是连续的。3、若X是一个Levy过程，则对于0,tRud，)()()(uttXeu其中)()(utX为)(tX的特征函数，即)()())(,()(tXuitXeEu，为)1(X的Levy特征。4、若)0),((ttXX是一个Levy过程，特征为),,(Ab；则（1）)0),((ttXX也是一个Levy过程，并且其特征为)~,,(Ab，其中对于)()(~),(AARBAd；（2）Rc，过程)0,)((tcttX是一个Levy过程，其特征为),,(Acb5、若随机过程X和Y是随机连续的，则)0),()((ttYtXYX也是随机连续的。6、若Levy过程X和Y相互独立，则)0),()((ttYtXYX也是Levy过程。7、若)0),((ttXX是随机连续的，存在一列Levy过程),(NnXn，其中)0),((ttXXnn并且对于0t，)(tXn依概率收敛到)(tX，对于0a，0))()((suplim0atXtXPnt；则X是一个Levy过程。三、Levy过程的一些例子：1、Brownian运动和Gaussian过程：dR上的（标准的）Brownian运动是一个Levy过程，)0),((ttBB满足)1(B：对于0t，),0(~)(tINtB，)2(B：B有连续的样本轨道。由)1(B，我们可知若B是一个标准的Brownian运动，则它的特征函数为)21exp()()(2))(,()(uteEutBuitB，（对于0,tRud）。注解：（1）Brownian运动的样本轨道几乎处处不可微（2）对于任意R上的时间序列),(Nntn，nt，有)(suplimnntB..sa；)(inflimnntB..sa令A是一个正定对称dd矩阵，为A的平方根，即是md矩阵满足AT，令dRb，)0),((ttBB是mR上的Brownian运动，构造dR上的过程)0),((ttCC，)()(tBbttC；则),(~)(tAtbNtC且C是一个Levy过程，也是一个Gaussian过程（即C的所有的有限维分布都是Gaussian的）。C的Levy特征为),(21),()(AuuubiuC，即其特征为)0,,(Ab。若0b，0t，)()(tBtC，我们常写作)()(tBtCA，A为Brownian的协方差。2、Poisson过程：取值于}0{的参数为的Poisson过程)0),((ttNN是一个Levy过程，其中)(~)(ttN，所以tnentntNP!)())((，,2,1,0n定义一列非负的随机变量)}0{,(nT（称为等待时间）：00T，})(;0inf{,ntNtTnn，则nT服从gamma分布，且对于n，间隔时间1nnTT服从均值为1的指数分布，且是相互独立同分布的。)0),((ttNN的样本轨道在有限区间内是分段连续的，在每一个nT处都会有一个跳跃度为1的跳。ttN)(是一个鞅，定义过程)0),(~(~ttNN，其中ttNtN)()(~，则)0),(~(~ttNN是一个复合Poisson过程，且对于0t，0))(())(~(ttNEtNE，ttNE))(~(23、复合Poisson过程：令)),((nnZ是一列取值于dR的相互独立同分布的随机变量，它们的分布测度均为Z，令)0),((ttNN是一个参数为的Poisson过程，且与)),((nnZ独立，定义复合Poisson过程为：0t，))(()2()1()(tNZZZtY所以),(~)(ZttY。显然，一个复合Poisson过程是一个Poisson过程1d且每一个.).(1)(sanZ。复合Poisson过程)0),((ttYY是一个Levy过程，Y的Levy特征为])()1([)(),(dRZyuiYdyeu。若)0),((11ttNN和)0),((22ttNN是两个定义在同一个概率空间上的相互独立的Poisson过程，到达时间分别为2,1),,()(jnTjn；则对于一些nm,，0)(2)1(nmTTP.即两个相互独立的Poisson过程必须在不同的时间上才会有跳。四、Poisson随机测度跳过程)0),((ttXX，其中)()(tXtXX，0t，)(tX是)(tX在t点的左极限。若N是一个..sa单调增的Levy过程，)0),((ttNN取值于}1,0{，则N是一个Poisson过程。令N是一个Poisson过程且选择210tt.则)0)()(()1)(0)()((12112tNtNPtNtNtNP，所以N不可能有独立增量。若X是一个Levy过程，对于固定的0t，.).(0saX.若X是一个复合Poisson过程，则tssX0)(.).(sa.对于})0{(,0dRBAt，定义tsAsXAsXTsAtN0))((})(;0{#),(,所以，对于0,t，函数))(,(AtNA是一个})0{(dRB上的计数测度，因此)()(),()),((dPAtNAtNE在})0{(dRB上是可测的，记)),1(()(NE为X的强度参数，若A0，我们则称})0{(dRBA是从下有界的。结论：（1）若})0{(dRBA是从下有界的，则.).(),(,0saAtNt.（2）若})0{(dRBA是从下有界的，则)0),,((tAtN是一个强度为)(A的Poisson过程。（3）若})0{(,,,21dmRBAAA是互不相交的，则随机变量),(,),,(1mAtNAtN是相互独立的。令),(AS是一个可测空间，),,(PF是一个概率空间。),(AS上的随机测度M是随机变量)),((ABBM使得：（1）0)(M；（2）可数可加性：对于任意一个序列),(NnAn，其中),(NnAn是A中的互不相交的集合，..,)()(saAMAMNnnnNn；（3）分散化独立性：对于A中互不相交的集合族),,,(21nBBB，随机变量)(,),(),(21nBMBMBM是独立的。若当)(BM，)(BM服从Poisson分布，我们则称M是Poisson随机测度。对于AB,))(()(BMEB,我们则可以得到),(AS上的有限测度.给定测度空间),(AS上的有限测度，存在概率空间),,(PF上的Poisson随机测度M使得AB,))(()(BMEB.例子：令}0{dRU，C是一个Borel代数，令X是一个Levy过程，则是X一个Poisson点过程，N是其Poisson随机测度。对于0t，A是从下有界的，我们定义补偿Poisson随机测度：)(),(),(~AtAtNAtN，)0),,(~(tAtN是一个鞅。显然，我们有以下结论：（1）))(,(,,0tNt是}0{dR上的一个计数测度；（2）对于A从下有界，)0),,((tAtN是一个强度为)),1(()(ANEA的Poisson过程；（3）)0),,(~(tAtN是一个鞅值测度，其中)(),(),(~AtAtNAtN，A是从下有界的。下面看一下Poisson积分，令f为dR到dR的Borel可测函数，A是从下有界的，则对于,0t，我们可以定义f的Poisson积分为随机变量有限和AxAxtNxfdxtNxf)})({,()())(,()(.注意每一个AdxtNxf),()(都是dR值随机变量。因为tuxuXxtN0,)(0}){,(,我们有tuAAuXuXfdxtNxf0))(())((),()(.令),(NnTAn是Poisson过程)0),,((tAtN的到达时。Poisson积分的另一种表达形式是NnAnAtTXfdxtNxf))((),()(。定理：令A是从下有界的，则有下面几条成立：（1）对于,0tAdxtNxf),()(是一个复合Poisson分布，使得对于,dRu)]()1(exp[)])),()(,((exp[),(dxetdxtNxfuiEfAxuiA，其中1ff（2）若),(1AALf，我们有)()(])),()((dxxftdxtNxfEAA（3）若),(2AALf，我们有)()()),()((2dxxftdxtNxfVarAA.若ddRRf:是Borel可测函数，则..,))(())((0sauXuXftuA)0,),()((tdxtNxfA是一