2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(下)期中数学试卷

第1页（共17页）2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）cos35°cos25°﹣sin35°sin25°的值为（）A．B．cos10°C．﹣D．﹣cos10°2．（3分）函数y＝的定义域为（）A．[0，）B．{x|kπ≤x＜+kπ，k∈Z}C．（﹣，）D．{x|﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z}3．（3分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移4．（3分）△ABC中，＝＝，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，＝（5，2），＝（﹣1，4），则∙＝（）A．12B．16C．8D．76．（3分）在△ABC中，已知a＝4，b＝x，A＝60°，如果解该三角形有两解，则（）A．x＞4B．0＜x≤4C．x≤D．4＜x＜7．（3分）函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．第2页（共17页）C．D．8．（3分）若α、β均为锐角，且2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ，则α与β的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α≤βD．不确定9．（3分）P为△ABC内部一点，且满足|PB|＝2|PA|＝2，，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．10．（3分）已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x，0≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤，an＝|f（xn）﹣f（xn﹣1）|n∈N*，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则Sn最大值等于（）A．B．C．+1D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知sinθ＝，则cos2θ的值为．12．（4分）在△ABC中，a2+b2﹣c2＝ab，则角C＝．13．（4分）已知等比数列{an}满足a2＝，a2∙a8＝4（a5﹣1），则a5+a6+a7+a8＝14．（4分）等差数列{an}前n项和为Sn，且＝+1，则数列{an}的公差为15．（4分）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，则AD＝．16．（4分）设，为两个非零向量，且||＝2，|+2|＝2，则|+|+2||最大值是三、解答题（本大题共4题，共46分）17．（10分）设＝（cosα，（λ﹣1）sinα），＝（cosβ，sinβ），（λ＞0，0）是平面上的两个向量，若向量与互相垂直．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）若，且tanβ＝，求tanα的值．18．（10分）已知函数f（x）＝sincos+cos2．第3页（共17页）（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB＝bcosC，求函数f（A）的取值范围．19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn+3n，n∈N*．（Ⅰ）设bn＝Sn﹣3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．20．（14分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+（﹣1）n（1）证明：{an+}是等比数列（2）当k是奇数时，证明：+＜（3）证明：++…+＜3第4页（共17页）2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）cos35°cos25°﹣sin35°sin25°的值为（）A．B．cos10°C．﹣D．﹣cos10°【分析】运用两角和的余弦公式，注意逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．【解答】解：cos35°cos25°﹣sin35°sin25°＝cos（35°+25°）＝cos60°＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式及运用，考查运算能力，属于基础题．2．（3分）函数y＝的定义域为（）A．[0，）B．{x|kπ≤x＜+kπ，k∈Z}C．（﹣，）D．{x|﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z}【分析】根据根式和正切函数的性质进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则tanx≥0，即kπ≤x＜+kπ，k∈Z，即函数的定义域为{x|kπ≤x＜+kπ，k∈Z}，故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3．（3分）为了得到函数的图象，只需把函数y＝sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律：“左加右减”即可求得答案．第5页（共17页）【解答】解：∵函数y＝sin3xy＝sin3（x+）＝sin（3x+），∴要得到y＝sin（3x+）的图象，只需把函数y＝sin3x的图象向左平移个单位．故选：B．【点评】本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握平移变换与伸缩变换规律是关键，属于中档题．4．（3分）△ABC中，＝＝，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由，利用正弦定理可得tanA＝tanB＝tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：＝，又，∴tanA＝tanB＝tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A＝B＝C＝，则△ABC是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，＝（5，2），＝（﹣1，4），则∙＝（）A．12B．16C．8D．7【分析】设A（x，y），B（a，b），则C（x+5，y+2），D（a﹣1，b+4），由＝，推导出＝（a﹣x，b﹣y）＝（3，﹣1），再由＝•（）＝+，第6页（共17页）能求出结果．【解答】解：设A（x，y），B（a，b），∵在平行四边形ABCD中，＝（5，2），＝（﹣1，4），∴C（x+5，y+2），D（a﹣1，b+4），∵＝，∴（x﹣a+6，y﹣b﹣2）＝（a﹣x，b﹣y），∴＝（a﹣x，b﹣y）＝（3，﹣1），∴＝•（）＝+＝（15﹣2）+（﹣5+8）＝16．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查向量的模、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（3分）在△ABC中，已知a＝4，b＝x，A＝60°，如果解该三角形有两解，则（）A．x＞4B．0＜x≤4C．x≤D．4＜x＜【分析】结合图象可得如解该三角形有两解，则必须有：bsinA＜a＜b，代入已知即可得解．【解答】解：如图所示：∵如果解该三角形有两解，则必须满足：CD＜BC＜AC，既有：bsinA＜a＜b，∴xsin60°＜4＜x．∴可解得：4＜x＜．故选：D．第7页（共17页）【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．7．（3分）函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y＝xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x＝时，y＝1＞0，当x＝π时，y＝π×cosπ+sinπ＝﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，属于基础题．8．（3分）若α、β均为锐角，且2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ，则α与β的大小关系为（）A．α＜βB．α＞βC．α≤βD．不确定【分析】由题意和不等式的放缩法可知sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，代入已知式子可得sinα＜sinβ，再由正弦函数的单调性质可得．第8页（共17页）【解答】解：∵2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ，又∵α、β是锐角，∴0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，∴sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，∴2sinα＝sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，即2sinα＜sinα+sinβ，∴sinα＜sinβ，∵α、β为锐角，∴α＜β，．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的正弦，考查正弦函数的单调性质和不等式的放缩法，属中档题．9．（3分）P为△ABC内部一点，且满足|PB|＝2|PA|＝2，，且，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．【分析】可作图：延长PA到D，使PD＝2PA，延长PB到F，使PE＝3PB，并连接DE，取DE中点F，并连接PF，设交AB于O，连接AF，从而有AF∥PE，且，从而得出，这样便可得到，根据作图过程可以得到，从而有PF＝2PC，进一步便可得到，从而，而根据条件可以求出S△PAB，从而可以得出△ABC的面积．【解答】解：如图，延长PA到D，使PD＝2PA，延长PB到F，使PE＝3PB，连接DE，取DE中点F，并连接PF，设交AB于O，连接AF，则：AF∥PE，且；∴；∴，∴；∵；∴；第9页（共17页）∴PF＝2PC；∴，即；∴；∴；∵；∴．故选：A．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及三角形中位线的性质，相似三角形的对应边的比例关系，三角形的面积公式，向量的数乘运算．10．（3分）已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x，0≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤，an＝|f（xn）﹣f（xn﹣1）|n∈N*，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则Sn最大值等于（）A．B．C．+1D．2【分析】利用三角函数化简，对单调性进行分段考虑，求解其通项an即可得Sn最大值．【解答】解：∵f（x）＝sinxcosx+cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin（2x+）+，∵0≤x≤，∴≤2x+≤，故存在xk使得2x+＝．当xk≤时，第10页（共17页）可知0≤x0＜x1＜x2＜…＜xk，函数f（x）单调递增，此时an＝f（xk）﹣f（x0）≤﹣．当xk＜x1+k＜xk+2＜…＜xn，函数f（x）单调递减，此时an＝f（xk）﹣f（xn）≤．那么：Sn＝a1+a2+a3+…+an≤，∴Sn最大值为．故选：A．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解和三角函数的综合题，单调性的讨论、有一定的难度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知sinθ＝，则cos2θ的值为．【分析】直接利用二倍角的余弦公式，然后将代入即可求出答案．【解答】解：cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（）2＝故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，灵活运用公式是解题的关键，属于基础题．12．（4分）在△ABC中，a2+b2﹣c2＝ab，则角C＝60°．【分析】利用余弦定理、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：∵在△ABC中，a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝＝．∵C∈（0，π），∴C＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了余弦定理、余弦函数的单调性，属于基础题．13．（4分）已知等比数列{an}满足a2＝，a2∙a8＝4（a5﹣1），则a5+a6+a7+a8＝30【分析】利用等比数列通项公式求出a1＝，q＝2，由此能求出a5+a6+a7+a8．【解答】解：∵等比数列{an}满足a2＝，a2∙a8＝4（a5﹣1），第11页（共17页）∴，解得a1＝，q＝2，∴a5+a6+a7+a8＝a1（24+25+26+27）＝×（16+32+64+128）＝30．故答案为：30．【点评】本题考查等比数列的4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．（4分）等差数列{an}前n项和为Sn，且＝+1，则数列{an}的公差为2【分析】设Sn＝An2+Bn，则＝An+B，推导出{}是以1为公差的等差数列，从而＝1，由此能求出数列{an}的公差．【解答】解