高等数学偏导数第一节题库

【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设zyxyxyarctan122，求该函数的定义域。【试题答案及评分标准】x0为该函数的定义域。10分【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】求函数uxyzarcsin22的定义域。【试题答案及评分标准】1122xyz10分【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设zxfyx()，其中x0，如果当x1时，zy12，试确定fx()及z。【试题答案及评分标准】x1时，zfyy()12，所以fxx()125分zxyxxxxy122210分【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设zxyfxy()，已知y0时，zx2，求fx()和z。【试题答案及评分标准】y0时，zx2，得xfxx()2所以fxxx()25分所以zxyxyxyxyy()()()22210分【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设zyfx()1，其中xy00,，如果y1时zx，试确定函数fx()和z。【试题答案及评分标准】y1时，zfxx11()所以fxx()113分令xtxt112,()所以fttttfxxx()(),()11222227分所以zyxxyxxy()(),121100210分【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限limsinxyyxxy00211。【试题答案及评分标准】解：limsinxyyxxy00211limsin()xyyxxyxy002116分=410分【090107】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限limsin()xyxyxyxy0023211。【试题答案及评分标准】解：原式=lim()sin()xyxyxyxyxy002322114分limsin()xyxyxyxy0021118分1210分【090108】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限limxyxxyexy00416。【试题答案及评分标准】解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy004168分=－810分【090109】【计算题】【中等0.5】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限lim()sinxyxyx0021。【试题答案及评分标准】解：由于lim()xyxy0020sin11x8分所以原式=010分【090110】【计算题】【中等0.5】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限limxyyyxxxyy00322232。【试题答案及评分标准】解：323232222222yyxxxyyyyxxxyy()又32312622222222yxxxyyyxxy()()6分limxyy0008分故原式=010分【090111】【计算题】【中等0.5】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限lim()cos()xyxyxyxy002222221。【试题答案及评分标准】解：原式=lim()()limxyxyxyxyxyxyxy0022222220022221224分当(,)(,)xy00时，x2为无穷小量,22222yxy，有界8分则原式=010分【090112】【计算题】【中等0.5】【多元函数的极限】【极限的计算】【试题内容】求极限lim()xyxyxy002222。【试题答案及评分标准】解：()()xyxyxyxyxyxy222222222222又limlimlnlimxxxxxxxeexx011100215分0022222222xyxyxyxy，（当xy00,时）所以limxyxyxy00222208分limxyxyxy00220221110分【090113】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【多元函数的间断点】【试题内容】函数fxyxy(,)ln()221连续区域是。【试题答案及评分标准】答：xy221。10分【090114】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的间断点】【试题内容】试求函数fxyzxyz(,,)ln11222的间断点。【试题答案及评分标准】解：因为在区域xyz2221及xyz2221连续，故间断点为xyz2221。10分【090115】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的间断点】【试题内容】试求函数fxyxy(,)sin1的不连续点。【试题答案及评分标准】解：由于fxyxy(,)sin1是初等函数，所以除xy0的点以外处处连续。5分在xy0（即x轴和y轴）上点fxy(,)没定义，因而不连续。10分【090116】【计算题】【中等0.5】【多元函数的连续性】【多元函数的间断点】【试题内容】试求函数fxyxyxy(,)sinsin22的间断点。【试题答案及评分标准】解：显然当(,)(,),xymnmnZ时，fxy(,)没定义，故不连续。5分又fxyxyxy(,)sinsin22是初等函数，所以除点(,)mn（其中mnZ,）以外处处连续。10分【090117】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的间断点】【试题内容】求函数fxyxyyy(,)sin1000的间断点。【试题答案及评分标准】解：只需讨论x轴上的点（y0）对于（0，0）点，由于lim(,)(,)xyfxyf00000fxy(,)在（0，0）点连续5分对x轴上的其余点，(,)a0，()a0limsinxayxy01不存在，故在(,)a0，()a0不连续。10分【090118】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxy(,)2222的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于fxyxyxy(,)2222是初等函数，所以除（0，0）点以外处处连续。6分但在（0,0）点，fxy(,)没定义，则在（0,0）点不连续。10分【090119】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyyyxyx(,)sin()222的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于sin()yyxyx222是初等函数。4分所以它在除抛物线yx2以外的点处都连续，但在抛物线yx2上的所有点都不连续。10分【090120】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数zxyxyarctan1的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于arctanxyxy1是初等函数，所以除xy1以外的点都连续，但在xy1上的点处不连续。10分【090121】【计算题】【中等0.5】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxyxyxy(,)22222222000的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于xyxy2222是初等函数，所以除点（0，0）外处处连续。4分又0222222222xyxyxxyyy则lim(,)(,)xyfxyf00000故fxy(,)处处连续。10分【090122】【计算题】【较易0.3】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxyxyxy(,)(,)(,)(,)(,)332200000在点（0，0）处的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于0033223223223232xyxyxxyyxyxxyyxy（当xy00,时）6分所以lim(,)xyxyxyf0033220008分故fxy(,)在（0，0）点连续。10分【090123】【计算题】【中等0.5】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxyxyxyxy(,)()(,)(,)(,)(,)2200000在点（0，0）处的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于xyxyxyyxxyxyxyxy()222222220（当xy00,时）8分所以lim(,)(,)xyfxyf00000故fxy(,)在（0，0）处连续。10分【090124】【计算题】【中等0.5】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxyxyxy(,)2222222000在点（0，0）处的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于xyxyxyxyx2222220（当xy00,时）6分所以lim(,)xyxyxyf002220008分故fxy(,)在（0，0）点连续。10分【090125】【计算题】【中等0.5】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxyxyxy(,)(,)(,)(,)(,)224200000在点（0，0）处的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于limlimlimxyxxxxyxyxxyxx00224032402221204分limlimxyyyxyxyyyy200224044422138分则limxyxyxy002242不存在，故fxy(,)在（0，0）不连续。10分【090126】【计算题】【中等0.5】【多元函数的连续性】【多元函数的连续性】【试题内容】讨论函数fxyxyxyxyxy(,)(,)(,)(,)(,)20000022在点（0，0）处的连续性。【试题答案及评分标准】解：由于limlimxykxxxyxykxxkxkk00220222222221（k为常数）6分则limxyxyxy00222不存在，8分故fxy(,)在（0，0）不连续。10分【090127】【证明题】【中等0.6】【多元函数的概念】【】【函数的表达式】【试题内容】设fxyeygxyeyxx,cos,(,)sin，证明fxygxyfxy2222,,(,)。【试题答案及评分标准】证明：fxygxyeyeyxx222222(,)(,)cossin5分eyfxyx2222cos(,)10分【090128】【证明题】【中等0.6】【多元函数的概念】【】【函数的表达式】【试题内容】试证函数Fxyxy,lnln满足关系式FxyuvFxu(,)(,)Fxv(,)Fyu(,)Fyv(,)。【试题答案及评分标准】证明：左=Fxyuvxyuv(,)lnln3分右=lnlnlnlnlnlnlnlnxuxvyuyvln(lnln)ln(lnln)xuvyuv(lnln)(lnln)lnlnxyuvxyuv所以，左=右，关系式成立。10分【090129】【证明题】【中等0.6】【多元函数的概念】【】【函数的表达式】【试题内容】设函数zfxy(,)满足关系式ftxtytfxyk(,)(,)，试证fxy(,)能化成zxFyxk的形式。【试题答案及评