22.2.5一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000)04(2422acbaacbbx复习导入22.2.5一元二次方程的根与系数的关系解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中的两个根的和与积和原来的方程的系数有什么联系？方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0-402201-3-42356进入新课探索1一般地，对于关于x的方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2-4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1+x2、x1x2的值，你能发现什么结论？与前面的观察的结果是否一致？242qpP关于x的方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2-4q≥0），用求根公式求得x1=、x2=则x1+x2=-p，x1x2=q，这说明一元二次方程的系数与方程的两个根之间总存在一定的数量关系。用这种关系可以在已知一元二次方程一个根的情况下求出另一个根及未知系数，或求作一个一元二次方程。242qpp结论：探索2依据探索1过程，自己探索关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根x1，x2与系数a、b、c之间有何关系？友情提示根与系数的关系存在的前提条件是：（1)a≠0(2)b2-4ac≥0形如ax2+bx+c=0(a≠0）－－→x2+px+q=0形式，转化x1+x2=-px1·x2=qacxxabxx2121,推导:aacbbaacbbxx24242221aacbbacbb24422ab22ab－baaacbbaacbbxx2424222122244aacbb244aacac如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。课堂练习1：不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2＋3x＋12＝0；解：x1＋x2＝－3，x1·x2＝12(2)3x2－2x－1＝0；解：x1＋x2＝23，x1·x2＝－13(3)2x2＋3＝7x2＋x；解：x1＋x2＝－15，x1·x2＝－35(4)5x－5＝6x2－4.解：x1＋x2＝56，x1·x2＝16例1已知12,xx是方程22410xx的两个实数根，求2212xx的值。解：由根与系数的关系，得121212,2xxxx222121212()2xxxxxx2122()25练习2.利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和01322xx解：设方程的两个根是x1x2，由根与系数的关系，得1212222121212212121231,221()23113222411312322xxxxxxxxxxxxxxxx∵解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即：所以：得：例2.方程的两根互为倒数，求k的值。01232kkxx1x2x1221xxk121xx112k1k练习3.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx531．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1x2＝______．2．一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件：(1)方程必须是___________形式；(2)Δ____0.3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1x2＝____．－pq一般≥－baca课堂小结引申:ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=___(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1巩固练习235.方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5①∵两根互为相反数∴两根之和m10,m1,且0∴m1时,方程的两根互为相反数.②∵两根互为倒数，m26m5,∴两根之积2m11m1且0,∴m1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2m10，且0,∴时,方程有一根为零.21m21m