二重积分的概念与性质-(2)

1/24第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题2/24复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？baxxfd定积分答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,取近似,求和,取极限”kknkdbaxfxxf10limd（3）如何计算定积分？3/24现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分问题:积分类型4/24柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.),(yxfzD1．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例D5/24类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”D解法6/24步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV得曲顶柱体的体积④取极限：),(iifi),(ii7/24设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？2．求平面薄片的质量i),(ii⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiMxyo分析=常数时，质量=·，其中为面积.⑷取极限：得薄片总质量若为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.8/24两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”niiiifV10),(limniiiiM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:9/24二、二重积分的定义及可积性1.定义),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,10/24.),(的从而二重积分都是存在上连续在所论有界闭域以后总假定Dyxf(2)存在条件（充分条件）当),(yxf在有界闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.2.【对二重积分定义的说明】(3)f(x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件.0i代替0？不能连续是二重积分存在的充分条件用(1)积分存在时，其值与区域的分法和点的取法无关(证明略)11/243.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若),(yxf,0表曲顶柱体体积的负值.2)若),(yxf,03)若,1),(yxfDyxfd),(Dyxfd),(Dd1表区域D的面积.几个特殊结果；kkDd)1(222222)2(ayxyxad；332aπ0,0,1)1()3(yxyxyxd.61xyz111yxz1Dxyz2ayx22aa体积的代数和d),(在物理上表示Dyx的平面薄片的质量占有平面区域面密度为Dyxf),(12/24[注]1.重积分与定积分的区别：重积分中d0,定积分中dx可正可负.2.根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域Ddd),(d),(DDyxyxfyxfyxddd故二重积分可写为xyoD则直角坐标系下面积元素为,常数x常数y即DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(13/24性质1.d),(d),(DDyxfkyxkf性质2Dyxgyxfd)],(),([.d),(d),(DDyxgyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分Dyxfkd),(Dyxgmd),(Dyxmgyxkfd)],(),([线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质14/24性质3对区域具有可加性.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf性质4若为D的面积，.dd1DD性质5若在D上),,(),(yxgyxf.d),(d),(DDyxgyxf特殊地.d),(d),(DDyxfyxf则有比较性质15/24设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质6设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质7二重积分中值定理DMyxfmd),(),(d),(fyxfD二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义16/24证明以下仅证性质7（中值定理）),(上的连续函数是有界闭域DyxfmM、必有最大、最小值由估值性质得DMyxfmd),(0由于DMyxfmd),(1据有界闭域上的连续函数的介值定理使得上至少存在一点在),,(D),(d),(1fyxfD变形后【得证】17/24比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而区域D位,1yx从而DDyxyxd)(d)(32于直线的上方,故在D上1y2xo1D作业题、课后习题见作业答案解法或有关习题解答例1解Ⅰ解Ⅱ18/24不作计算，估计de)(22DyxI的值，其中D是椭圆闭区域：12222byax)0(ab.在D上2220ayx,,eee12220ayx由性质6知,ede222)(aDyxde)(22Dyxπab.eπ2aab区域D的面积πab例2解19/24比较积分Dyxd)ln(与Dyxd)][ln(2的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解在D内有e21yx,故1)ln(0yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Dyxd)ln(Dyxd)][ln(2.oxy121D2yx1yx课后习题例320/24机动被积函数相同,且非负,dd12；yxyxIyx1111dd3yxyxxyI321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:练习解[提示]被积函数相同，则比较区域D的大小.21/242.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1D提示区域D相同，则比较被积函数的大小22/24D位于x轴上方的部分为D1,在D上),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfDyxfId),(DyxfId),(1),(2Dyxfd1.设函数在闭区域D上连续,D关于x轴对称,则则xyo1DD[补充]在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.02.若D关于原点对称,(1)0),,(),(Iyxfyxf(2)212),,(),(DDIyxfyxf2D2为y轴右方的部分23/24[例如]在第一象限部分,则有Dyxyxdd)()2(；上Dyxyxdd)(222xoy1DDDyxyyxxdddd0利用对称性简化运算时要特别考虑两方面①被积函数的奇偶性②积分区域的对称性说明；1)(422Dyxyxdd24/24二重积分的定义二重积分的性质（7条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）[二重积分的比较大小]1.若区域D相同，则比较被积函数的大小；2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.25/2426/24一利用直角坐标计算二重积分二小结思考题§10.2二重积分的计算法（一）27/24复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素xxAVd)(d体积为baxxAVd)(在点x处的平行截面的面积为:)(xA(1)二重积分),(limd),(10niiiiDfyxfxoabxdxx)(xA28/24,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy[X—型区域的特点]穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.[预备知识]29/24,dyc).()(21yxy(2)［Y－型域］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.30/24(3)[既非X－型域也非Y－型域]3D2D1D在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)则必须分割..321DDDD由二重积分积分区域的可加性得31/24(1)若积分区域为X－型域：,bxa).()(21xyx0),(yxf且设积．为曲顶的曲顶柱体的体为底，以曲面的值等于以则),(d),(yxfzDyxfD2.【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.],[0bax0xx作平面方法32/24)(01x)(02x)()(000201d),()(xxyyxfxAbaxxAVd)(即得公式1的二次积分后对上式称为先对xyyxzab0xo)(1xy)(02x)(01x)(2xy)(0xAd),()()()(21xxyyxfxA),(yxfzoyxz)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xyab0x],[0bax0xx作平面baxxDxyyxfyxfd]d),([d),()()(21.d),(dd),()()(21Dbaxxyyxfxyxf33/24几点小结计算方法实现了二重积分的一种通过体积作为过渡,①.)(来求解单积分通过计算两次定积分②定限：二重积分的计算关键是).()(,:21xyxbxaDXbaxxDxyyxfyxyxfd]d),([dd),()()(21定限口诀后积先定限(投影)限内划条线(穿线)先交下限写后交上限见aboxyDx)(1xy)(2xyabxd)(1x)(2xydDyxfd),(),(yxf(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向投影穿