抛物线的简单几何性质优秀教学设计

抛物线的简单几何性质【教学目标】1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。【教学重难点】教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用【教学过程】一、复习引入：（学生回顾并填表格）1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物l线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。l2．抛物线的标准方程：相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即41图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2pyxyOFlxyOFl。242pp不同点：（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端px2为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为。（2）2ypy22x开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号。二、讲解新课类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何022ppxy性质：1．范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等022ppxy式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。2．对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的022ppxy对称轴叫做抛物线的轴。3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。在方程中，当y=0时，x=0，022ppxy因此抛物线的顶点就是坐标原点。022ppxy4．离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率022ppxyxyOFl0,0轴x0,2p2px1e022ppxyxyOFl0,0轴x0,2p2px1e022ppyx0,0轴y2,0p2py1e022ppyx0,0轴y2,0p2py1e注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。p思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）三、例题讲解：【例1】已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求)22,2(M它的标准方程，并用描点法画出图形。分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p。解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，pxy22)22,2(M所以，即22)22(2p2p因此，所求的抛物线方程为。xy42将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，xy2xy20x得x01234…y022．83．54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线。【例】2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A．B，求线段AB的长。解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1．由题可知，直线AB的方程为y=x—1代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0解上述方程得x1=3+2，x2=3—222分别代入直线方程得y1=2+2，y2=2—222即A．B的坐标分别为（3+2，2+2），（3—2，2—2）2222∴|AB|=864)222222(2)223223(22解法2：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=6，x1·x2=1∴|AB|=|x1—x2|284624)(2221221xxxx解法3：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|即|AF|=|AA′|=x1+1同理|BF|=|BB′|=x2+1∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。【变式训练】过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，24yxF11(,)Pxy22(,)Qxy若，求。126yyPQ解：，，214xy112,48pp11PQPFQFPPQQ12116688yyp。点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或12ABxxp。12AByyp四、达标练习1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果xy4211,yxA22,yxB，那么=（）621xx||AB（A）10（B）8（C）6（D）42．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则Mxy42F1,3P的最小值为（）||||MFMP（A）3（B）4（C）5（D）63．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是xy42FlABAB______4．定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的3ABABxy2ABMy最小值，并求出此时中点的坐标。ABM参考答案：1．B2．B3．4．，M到轴距离的最122xy22,45My小值为。45五、小结抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等。【作业布置】1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图。（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点。（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A．B两点，若A．B在准线上的射影是A2．B2，则∠A2FB2等于　。3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程。4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭1522yx圆在准线所得的弦长。5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？答案：1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y2．90°3．x2＝±16y4．5．米54520