三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题10-解三角形(解析版)

专题10解三角形1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．25【答案】A【解析】因为2253cos2cos121,255CC所以22232cos12521532425ABBCACBCACCAB，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC△的内角ABC，，的对边分别为a，b，c，若ABC△的面积为2224abc，则CA．π2B．π3C．π4D．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin24ABCabcSabC△，所以2222sinCabcab，由余弦定理2222cosabcabC，得sincosCC，因为0,πC，所以π4C，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017年高考山东卷理数】在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC△为锐角三角形，且满足sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是A．2abB．2baC．2ABD．2BA【答案】A【解析】由题意知sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC，所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB，则ABC△的面积为_________．【答案】63【解析】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2262cccc，即212c，解得23,23cc（舍去），所以243ac，113sin432363.222ABCSacB△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,ac的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在ABC△中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD___________，cosABD___________．【答案】1225，7210【解析】如图，在ABD△中，由正弦定理有：sinsinABBDADBBAC，而3π4,4ABADB，225AC=AB+BC=，34sin,cos55BCABBACBACACAC，所以1225BD.ππ72coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD△中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若7a，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】217，3【解析】由正弦定理得sinsinaAbB，所以2π21sinsin,377B由余弦定理得22222cos,742,3abcbcAccc（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】1510,24【解析】取BC中点E，由题意：AEBC，△ABE中，1cos4BEABCAB，∴1115cos,sin14164DBCDBC，∴115sin22BCDSBDBCDBC△．∵2ABCBDC，∴21coscos22cos14ABCBDCBDC，解得10cos4BDC或10cos4BDC（舍去）．综上可得，△BCD面积为152，10cos4BDC．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC．（1）求A；（2）若22abc，求sinC．【答案】（1）60A；（2）62sin4C.【解析】（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc．由余弦定理得2221cos22bcaAbc．因为0180A，所以60A．（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C．由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin2ACabA．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】（1）B=60°；（2）33(,)82.【解析】（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA．因为sinA0，所以sinsin2ACB．由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB．因为cos02B，故1sin22B，因此B=60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积34ABCSa△．由正弦定理得sin120sin31sinsin2tan2CcAaCCC．由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120°，所以30°C90°，故122a，从而3382ABCS△．因此，△ABC面积的取值范围是33,82．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.10．【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=12．（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．【答案】（1）7b，5c；（2）437.【解析】（1）由余弦定理2222cosbacacB，得22213232bcc.因为2bc，所以2221(2)3232ccc.解得5c.所以7b.（2）由1cos2B得3sin2B.由正弦定理得53sinsin14cCBb.在ABC△中，∠B是钝角，所以∠C为锐角.所以211cos1sin14CC.所以43sin()sincoscossin7BCBCBC.【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知2bca，3sin4sincBaC．（1）求cosB的值；（2）求sin26B的值．【答案】（1）14；（2）35716.【解析】（1）在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3sin4sincBaC，得3sin4sinbCaC，即34ba．又因为2bca，得到43ba，23ca．由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa．（2）由（1）可得215sin1cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；（2）若sincos2ABab，求sin()2B的值．【答案】（1）33c；（2）255.【解析】（1）因为23,2,cos3acbB，由余弦定理222cos2acbBac，得2222(3)(2)323cccc，即213c.所以33c.（2）因为sincos2ABab，由正弦定理sinsinabAB，得cossin2BBbb，所以cos2sinBB.从而22cos(2sin)BB，即22cos41cosBB，故24cos5B.因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而25cos5B.因此π25sincos25BB.【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作AEBD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DEBEACAECD.'因为PB⊥AB，所以84cossin105PBD