4.5--非齐次线性方程组解的结构

设有非齐次线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（5－1））（为不全为零，其矩阵形式其中25,,,21bAxbbbm)35(2211baxaxaxnn其向量形式为),,,()(21nnmijaaaaA其中§4.5非齐次线性方程组解的结构,21nxxxx,,,2,121njaaaamjjjj.21mbbbb).(bAA增广矩阵)()(,,,,,,,,,,212121ARARbaaaaaaaaaAbbAxnnn是等价向量组与线性表示的列向量可由向量有解非齐次线性方程组.0,1)(2121的解为对应的齐次方程则的解都是及设AxxbAxxx证明.021bbA.021Axx满足方程即bAbA21,１．非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质证明AAA,0bb.的解是方程所以bAxx证毕．.,0,2)(的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx（2）若为的解，为实数，则也是的解．1x0Axk1kx0Ax证明.kkAkA0011证毕..,0)1(),(.0)3(000000即得证的解向量，记其为导出组是知由性质由于证的某个解向量组是对应的导出的某个解向量，是其中都可以表示成的任一解向量rrAxrrrrrrAxbAxrrrrbAx二、非齐次线性方程组解的结构.,,,0,)()(,122122110021是任意实数其中为：的通解的某个已知解，则是系，的基础解是导出组，，，且已知若对非齐次线性方程组的结构定理）（非齐次线性方程组解定理rnrnrnrnccccccrxbAxbAxrAxrARARbAx.0的一个特解称为非齐次线性方程组这里的bAxr.,,,12,)4(.0,0,,)()()3(),(),(,)2();(12122110021是任意实数其中的结构式通解写出再根据定理的一个特解求零解只有出组只有唯一解，这时，导；若，，，的基础解系求对应导出组若设是否有解；并判断求最简型阶梯阵进行初等变换，变成行对的增广矩阵）写出（骤：的结构式通解的一般步求rnrnrnrnrccccccrxbAxrbAxAxbAxnrAxnrrARARbAxARARBAbAAbAxbAx.123438,23622,2323,75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解12134382362120231213711111A例求下述方程组的解0000000000002362120711111~.,知方程组有解由ARAR,3,2rnAR又所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组236227543254321xxxxxxxxx求基础解系.100,010,001543xxx令依次得.32,10,212121xx236227543254321xxxxxxxxx代入.10032,01010,0012121321求特解.223,29,021543xxxxx得令所以方程组的通解为故得基础解系.0002232910032000100012121321kkkx.,,321为任意常数其中kkk另一种解法12134382362120231213711111A0000000000002362120711111~00000000000022331211029202101~则原方程组等价于方程组223321292215432531xxxxxxx5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为.0002232910032010100012121321kkkx.,,321为任意常数其中kkk三、直线、平面的相对位置5)(500:4)(500:,44443333222221111121DzCyBxADzCyBxALDzCyBxADzCyBxALLL的方程分别为设直线的交线。与，与可分别视作则表示平面为如记432121,),4,3,2,1(0LLiDzCyBxAiiiii下列方程组的相对位置，只须讨论与要考虑21LL)65(000044443333222211113DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxAL4321444333222111444333222111DDDDCBACBACBACBAACBACBACBACBAA记可能的情形：的位置关系有下列几种）总是有解的，因此）和（由于（向量的法是平面即并记21,5545.)4,3,2,1)(,,(LLiaiCBAaiiiii.65,3)()((2).,2)()()1(21212143交于一点与有唯一解，所以）这时线性方程组（是重合的与一平面束，从而属于同，与，此个行向量线性表示，因以由第一、二的第三、四个行向量可多余的，这时第三、四个方程是LLARARLLAARAR...,,,,3)(65,4)(,3)()4(.,,65,3)(,2)()3(21124313213213213214321214321214321异面与因此，这时平行不与的交线，与因此，作为平行不与不正交，即与确定的平面内，因而不在由性表示，即线不可以用线性表示，设向量不可以用中至少有一个的，所以中只有一个方程是多余，方程组不相交，由于与无解，这时）这时线性方程组（平行与平行，即，表出，所以价，即它们能互相线性等与不相交，这时向量组与无解，即）这时线性方程组（LLLLLaaaaaaaaaaaaaARLLARARLLaaaaaaaaLLARAR）（：的线性方程组是否有解交点，取决于下面这三个平面是否有公共解是参数。其中：对位置讨论下列三个平面的相例7-5zbyazbyaxbzyxbazbyazbyaxbzyx0)12()1(7)1()1(23,0)12()1(:7)1()1(2:3321用克莱姆法则求得。），且交点可以对（三平面有唯一公共交点此，则方程组有唯一解，因且因此，若式计算方程组的系数行列75,01)1(121011211babababab)85(120002100311110021003112100110031101200712231175,123322312)1(22bbbbbbbbbarbrrrrrrr变换：行）的增广矩阵实施初等对（如果0110100030110110702230110110711230117507521752112322aaaabbbrrrr换：）的增广矩阵做初等变时，对（当公共交点。）有解，从而三平面有时，（当）无解，时，（因此，当）为方向向量的直线。，，（），而以，，点是过点（因此，这三个平面的交为任意实数时，当无公共交点。）无解，因此三平面（由此矩阵的第二行知，011202.,01120221,175kkzyxba线。时，三平面交与一条直且时，无公共交点；且或时，三平面交与一点；归纳以上讨论得：21121100,0bababba