第七章--数学中的公理化方法

§1公理化方法概述•数学公理化方法，是数学发展到一定阶段的产物．它在近代数学发展中曾起过巨大的作用，而且对于现代数学的发展也有着极其深刻的影响．即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法．一、公理化方法的含义•公理化方法是从尽可能少的基本概念和基本公理出发，应用严格的逻辑推理，使一门数学建成为演绎系统的一种方法．在理论形式上，这些基本概念和基本公理，是逻辑推理的前提，是数学需要作为自己出发点少数思想上的规定．由公理化方法把一个数学分支建成为演绎体系，关键是引进基本概念，设置基本公理．•基本概念是一些不需定义的或隐约地受到公理制约的原始概念，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更简单的概念去定义的概念，必须是对数学实体的高度纯化的抽象。•基本公理是无条件的、相互制约的规定，是作为对各个基本概念的相互关系和基本性质的阐述和规定，是一些不证自明的命题。基本公理不是可以随意选定的，一个良好的公理系统，所设置的公理应当满足下列三项基本要求：1．相容性•公理的相容性也称无矛盾性或和谐性，是指同一公理系统中的公理，不能自相矛盾；由这些公理推出的一切结果，也不能有丝毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立，又能证明它的反面也成立的情况存在。2．独立性•公理的独立性，是指一个公理系统中的所有公理，不能互相推出。这就是要求该系统中公理的数目减少到最低限度，不允许公理集合中出现多余的公理，这也是对数学的“简单美”的一种追求。3．完备性•公理的完备性，是要求对一个公理系统中所有基本概念的性质，都作出明确的规定，使得这个系统中的全部命题都能毫无例外地在本系统中被证明，而在推理证明过程中，无需再用到直觉，因此，必要的公理不能省略。否则，将有某些真实命题得不到理论的证明或在证明过程中理由不充分。上述三项基本要求中，最主要的是相容性。•因为一个公理系统如果违反了相容性的要求，那么以这个系统中的公理作为逻辑推理的大前提，所推出的结果必然矛盾百出，造成逻辑上的混乱，因而这样的公理系统难以帮助人们认识现实世界的空间形式和数量关系，是毫无实际价值的。独立性和完备性是第二位的要求，对于一个严谨的公理系统，这两个要求也应得到满足，但是许多比较复杂的数学分支，要它的公理系统都能满足上述三项基本要求，则往往比较困难。•公理化方法的意义和作用，与其自身的不断发展密切相关。二、公理化方法的产生和发展•综观公理化方法发展的历史，大致可以分为三个阶段：1．产生阶段——由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世。•公元前三世纪，希腊哲学家亚里士多德在其逻辑著作《工具论》一书中，总结了古代积累起来的逻辑知识，以数学及其他演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推出其他的三段论。因此，亚里士多德是历史上第一个正式给出公理系统的作者。•希腊著名数学家欧几里得在泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图等学派工作的基础上，运用亚里士多德提供的逻辑方法，写出了数学史上的重要著作《几何原本》。这是古代数学公理化方法的一个光辉成就。•《几何原本》的问世，标志着公理化方法的诞生，《几何原本》的贡献倒不在于发现了几条新定理，而主要在于它把原先零乱的、互不相关的几何知识，按公理系统的方式进行妥切安排，使得反映几何事实的公理和定理都能与论证联系起来，组成一个有条不紊的有机整体。2．完整阶段——由罗巴切夫斯基的非欧几何到希尔伯特《几何基础》的问世。•欧几里得几何公理系统的意义十分巨大，影响极为深远，但它是不完善的，特别是第五公设问题，当时大多数人认为它很像一条定理，企图用《几何原本》中其余的公设和公理加以证明，但在证明中所用的论据，要么是不知不觉地利用一直观明显性，要么是利用了一个与第五公设等价的命题。因此，所有这些证明实质是无效的。•直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸取了前人两千多年来在证明第五公设中的失败教训，认识到第五公设与其他几何公理是互相独立的，除掉第五公设成立的欧氏几何外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。于是他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进了一个与第五公设相反的公理：“过平面上一已知直线外的一点至少可引两条直线与该已知直线平行”，由此构成了一个新的几何系统与欧氏几何系统相并列。•非欧几何的创立，大大提高了公理化方法的信誉，接着便有许多数学家致力于公理化方法的研究。如德国数学家康托尔与戴德金不约而同地拟成了连续性公理、德国数学家巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希尔伯特于1899年发表了《几何学基础》一书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学的公理化方法。3．形式化阶段——集合悖论出现后，希尔伯特在其形式化研究方法，特别是元数学（证明论）中，将公理化方法推向的一个新阶段。•在欧氏《几何原本》的公理系统中，概念直接反映着数学实体的性质，而且那些概念、定义、公理的表述以及定理的论证往往受到直觉观的束缚。因而，欧氏公理系统的公理化可称为“实体公理化”。然而在希氏《几何学基础》中，•不仅在公理的表述或定理的论证上已摆脱了空间观念的直觉成分，而且还为几何对象及其关系进行更高一级的抽象提供了基础。于是，•只要满足公理系统中各个公理的要求，那么所涉及的对象就可以是任何事物，并且在公理中表述事物或对象间的关系时，其具体意义也可以是任意的。所以，在《几何学基础》问世以后，公理化方法不仅进入了数学的其他各个分支，而且它本身也被推向了形式化的阶段。•后来希尔伯特将将某种数学理论（如自然数理论、几何理论等）作为一个整体加以研究，提出了希尔伯特规则，即：证明古典数学的每个分支都可以公理化；证明每个这样的系统都是完备的；证明每个这样的系统都是相容的；证明每个这样的系统所相应的模型都是同构的；寻找一种可以在有限步骤内判定任一命题的可证明性的方法。希尔伯特为具体实施这个规划而创立了证明论即元数学理论。希尔伯特对元数学的研究，使公理化方法进一步精确化：•把数学理论中的定理及数学中使用的逻辑规则排成演绎的体系，并使用数学符号和逻辑符号把数学命题变成公式，这样，全部数学命题便变成了公式的集合，公理化的数学理论便变成了演绎的形式系统。元数学思想的提出，标志着数学的研究达到了新的、更高的水平，数学的研究对象已不是具体的、特殊的对象，而是抽象的数学结构。从而，公理化被推向一个新阶段即纯形式化阶段。三、公理化方法的作用•数学公理化方法在整理数学知识，促使新理论的创立，以及对整个科学理论的表述都有着重要的作用。1．公理化方法是整理分析、加工总结数学经验资料，建立科学理论体系的基本工具。•利用公理化方法，可以把零散的数学知识，用逻辑的链条串连起来，使之形成完整的有机整体。这样，不但能使人们容易掌握，而且也便于应用。2．公理化方法有利于比较数学各个分支的实质性异同，促进数学探索与基础研究，推动数学新理论的产生。•从前面所述，可以看出，非欧几何就是在研究和使用公理化方法的过程中产生的。3．数学公理化方法在科学方法论上，对各门自然科学起着示范作用。•由于数学公理化方法表述数学理论的简洁性、条理性和结构的和谐性，为其他科学理论的表述起到了示范作用。于是其他科学纷纷效仿数学公理化的模式，出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化、相对论公理化及伦理学公理化等等。诚然，公理化方法具有重大作用，但也不能将它绝对化，必须辩证地看到它的不足之处。•公理化方法如果不与实验方法相结合，则可能陷入错误；如果不与认识论的科学方法相结合，则也不会更好地发现问题；公理系统的相容性、独立性和完备性的要求，不仅在理论上难以全部满足，而且对于一些新兴的数学分支或与生产实际关系密切的科学的发展，反而是一种障碍。而且，用公理化方法建立起来的理论体系，最终还需受实践的检验，以判定其真伪。§2欧几里得几何公理系统简介•欧几里得的《几何原本》是公理化方法的雏形。它的主要内容包括以下几个方面。一、23条定义•（1）点是没有部分的。•（2）线是有长度而没有宽度的。•（3）线的界是点。•（4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说，都是同样的放置着的。•（5）面是只有长度和宽度的。•（6）面的界是线。•（7）平面是这样的面，它对于它的任何直线来说，都是同样的放置着的。•接着15条是关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角；圆、圆周和中心、直径、半圆、直线形、三角形、四边形、多边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、正方形、菱形、梯形的定义。•（23）平行线是在同一平面上而且向两侧延长总不相交的直线。二、5条公设•（1）从一点到另一点必可引直线。•（2）任一直线均可无限地延长。•（3）以任一点为中心，均可以任意长的半径画圆周。•（4）所有的直角都是相等的。•（5）若两直线与第三条直线相交，其一侧的两个内角之和小于两直角时，则把这两条直线向该侧充分地延长后一定相交。三、9条公理•（1）各与同一个第三个量相等的量必相等。•（2）相等的量加上相等的量仍为相等的量。•（3）相等的量减去相等的量仍为相等的量。•（4）不等的量加上相等的量获不相等的量。•（5）相等的量的两倍仍为相等的量。•（6）相等的量的一半仍为相等的量。•（7）能互相重合的是一定是相等的量。•（8）整体大于部分。•（9）过任意两点只能引一条直线。四、467条定理•欧几里得从上述公设和定理出发，运用演绎方法，将当时所知的几何知识全部推导出来，共有467条几何命题。但是，欧几里得几何公理系统是不够完善的，比如：•（1）有些定义是不自足的。•在给某些概念下定义时，使用了一些未加定义的概念。•（2）有些定义是多余的。•缺少它们，并不影响后面的论证。•（3）有些定理的证明是不严格的。在证明过程中，常常依赖于图形的直观。•例如《几何原本》中一个命题的证明：•命题三角形的外角大于每一个不相邻的内角。