数学问题及提出.

1数学问题及其提出2•全美数学教师理事会（NCTM）在其颁布的《学校数学课程与评价标准》（1989）、《数学教学的专业标准》（1991）以及《学校数学的原则与标准》（2000）等文件中，对教师提出了增加提出问题活动的教学要求，即不仅应让学生解决预先提出的数学问题，而且，还应重视学生提出数学问题的活动。•澳大利亚（1994）的一些地方教育部门也提出，应把提出问题看作是学生“做”数学的一种重要表现。3全日制义务教育数学课程标准(实验稿):•总体目标分为了四个方面：知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。•在知识与技能中：“经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”•在解决问题中：“初步学会从数学的角度提出数学问题、理解数学问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。”4全日制义务教育数学课程标准（修改稿）：总体目标2：体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。5普通高中数学课程标准（实验稿）：•课程目标3：提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学地表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。•通过“数学探究”和“数学建模”等课程内容的实施，把学生“提出问题”能力的培养贯穿于高中数学教学过程。6数学问题及其提出一．数学问题和提出数学问题解析二．数学问题提出的教育功能三．数学问题提出的策略四．引导学生提出数学问题的方法及策略五．提出数学问题能力的评价六．数学问题提出与课堂提问的区别7一、数学问题和提出数学问题解析1.问题2.数学问题3.提出数学问题81、问题•问题是一种特殊的情境，是个体面临一个不易达到的目标或困难课题时的情境。•心理学家梅耶（R.E.Mayer）认为：“当问题解决者想让某种情境从一种状态转变为另一种不同的状态，而且问题解决者不知道如何扫除2种状态之间的障碍时，就产生了问题。”他还指出，一个问题由3种成分构成：给定状态、目标状态以及阻止给定状态转变为目标状态的障碍。•问题的存在与否是相对于问题解决者而言的，因此，问题具有目标性、障碍性和相对性。9•显现型问题（由教师或教科书上提出的问题），答案、求解思路均是现成的，学生只须照章办事，按序求解就能获得与标准答案相同的结果，无需想象与创造；•发现型问题，它们有的虽有已知答案，但问题是由学生提出或发现，而不是教师或教科书给定的。对学生个体而言，却是一种探索、独立的发现；•创造型问题，这类问题是人们从未提出过的，属原创性问题。学生遇到的问题多属于“再发现”的问题。美国芝加哥大学心理学家J.W盖泽与斯曾把学生的问题大致分为3类：102、数学问题•数学问题特指用数学语言表述的有关空间形式与数量关系的问题，它由条件、目标等信息组成。•数学问题也可分为3类：模仿性数学问题（或常规性数学问题）；发展性、探索性数学问题；创造性数学问题。•我们要特别关注学生提出的发展性、探索性数学问题，因为这类问题的已有知识，条件、结论未必清楚，解答也未必唯一，更利于学生问题意识和创新精神的培养。113、提出数学问题•在数学教学活动中，“提出问题”是指通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述(re-formulation)。•前者将提出问题看作是一种相对独立的数学活动，后者则把提出问题视为解决问题的手段。12提出问题具有静态特征和动态特征•从静态的角度看，它是提问者对已经发现或产生的“问题”所进行的文字的或言语的表达；•从动态的角度看，它是主体形成“问题意识”和生成数学问题的过程。期间，提问者经历了从内隐的思维活动向外显的数学行为的转化。•内隐的思维活动指的是主体基于对情境的观察和分析，以及对“问题”信息的收集、选择和处理，产生认知冲突、形成问题意识和生成数学问题。•外显的数学行为指的是主体以书面的或口头的方式表达数学问题的过程。13学生数学提出问题的动态过程数学情境（信息的、经验的和现实的背景）观察、分析与探究的收集、选择与处理（书面的或口头的）表达数学问题发现或建构新的数学问题形成问题意识产生认知冲突基于对“问题”信息内隐的思维活动外显的数学行为14二、数学问题提出的教育功能Silver总结了数学问题提出6个方面的意义：•问题提出是创造性活动或特殊才能的特征；•问题提出是探究性教学的特征；•问题提出是数学活动的特征；•问题提出是改进问题解决的手段；•问题提出是了解数学理解状况的窗口；•问题提出是改善学生数学情感的手段。15夏小刚教授认为：•提出问题是解决问题的重要手段•提出问题可以促进学生数学交流能力的发展•提出问题有助于增强学生的数学自信心•提出问题有助于提高学生的数学创新力16三、数学问题提出的策略1.因果策略2.比较策略3.扩大策略4.极限策略5.变化策略6.逆反策略7.否定属性策略171因果策略：为什么设置这样的情境？•在《圆的面积》教学中，创设圆沿半径等份的情境。如下图，把圆平均剪成16份，拼一拼，近似什么图形？•若把圆平均剪成32份，拼一拼，近似什么图形？18•观察：所拼的图形。你发现了什么趋势？有什么想法？•猜想：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。•每组继续讨论：拼成的近似长方形与圆有什么关系？如何借助这个长方形的面积推导出圆的面积？•结论：利用长方形的面积公式推导圆的面积公式。192比较策略：比较同一数学规律在不同情境下的应用；不同概念，不同规律之间的异同；比较互相矛盾的解释、说法和理论；比较新事物和旧理论之间的矛盾和类似现象之间的异同；从中发现并提出问题。20•叠报为梯登月球的问题迁移：某人听到一个谎言后1小时内传给2人，2人在1小时内又传给4人，依次类推，前面的每一个人听到谎言均在1小时内分别传给2个人，如此下去，问一昼夜能传遍1千万人口的大城市吗?学生计算出：224=16777216(人)，就可以推算出谎言一昼夜能传遍这座大城市的结论。213扩大策略：从特殊情况或现象中总结出的规律，推广到更大范围或一般情况还能成立吗？这个规律是具有普遍性还是只适合于某些特殊情况？怎样改动才可以应用到另外的情况？22•从勾股定理到费尔马定理。如果a、b是直角三角形的两直角边，c为斜边，那么有a2+b2=c2.此命题称为勾股定理。如果正整数x、y、z满足下列不定方程x2+y2=z2，则称他们勾股数。•当指数为任意的大于2的自然数n时，xn+yn=zn有没有正整数解？猜想当n≥3时，不定方程xn+yn=zn不存在正整数解，这就是著名的费尔马大定理。•1994年，英国数学家安德鲁·维尔斯给出了这个定理的严格证明。234极限策略：在通常情况下成立的理论与规律，放到极端条件下还会出现或成立吗？会不会出现新的问题？24由图1那样的等边三角形开始。然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要像图2那样去掉与原三角形叠合的边。接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三分后的中段，像图3那样向外画新的尖形。不断重复这样的过程，便产生了类似雪花的曲线——雪花曲线。2526•我们发现：当这种重复过程有限时，产生的多边形的面积和周长都是有限的.•但是，当这种重复过程无限时，产生的多边形——雪花曲线的性质令人惊异：具有有限的面积，却有着无限的周长！275变化策略：还有没有其他的结论？如果条件改变，结果会怎样？•如下图：小华家距离学校0.5千米，小林家距学校1.5千米，求小华家到小林家的距离。28•通常，学生把小华家、小林家、学校视为同一直线上的三点，因此得出两家相距1千米或2千米的答案。•进一步思考，同学们就会发现这一问题的答案，远不止此，如果小华家、小林家、学校三者不在同一直线上，小华家到小林家的距离S就为一给定范围：1千米＜S＜2千米，因为这涉及到小华家和学校的连线与小林家和学校的连线夹角（[00,3600]）的大小。也即：这是个无穷解问题。•因此，该问题的正确答案为：1千米≤S≤2千米。296逆反策略：正面的问题，反过来会怎样？定理成立，它的逆定理也一定成立吗？•在立体几何教学中，三垂线定理的逆命题成立吗？它的逆命题（三垂线定理的逆定理）也成立。307否定属性策略(what-if-not)•1990年，美国学者布朗和沃尔特在《提出问题的艺术》（TheArtofProblemPosing）一书中，对该策略的具体步骤作了以下阐述：（1）确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；（2）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；（3）就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？”（4）依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；（5）对所提出的新问题进行选择。31例（2002年上海高考题）：已知点A（-，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，问线段DE的长度为多少？33步骤（1）：选择出发点1）圆锥曲线与直线相交是历年高考解析几何的典型情境；2）学生具有解决这类问题的经验；3）该问题的属性很多。32步骤（2）：列出部分属性•1）给定点A和B;•2）点的个数为2；•3）点A和B在x轴上；•4）点A和B关于原点对称；•5）点A和B的横坐标的绝对值为；•6）点A和B的坐标是具体的数值；•7）已知动点C到A、B的距离之差；•8）点C到A、B的距离之差的绝对值等于2；•9）点C到A、B的距离之差的绝对值是个具体的数值；333•10）问题涉及一条直线；•11）直线的斜率为1；•12）直线的斜率为一个具体数值；•13）直线在y轴上的截距为-2；•14）直线在y轴上的截距为一个具体数值；•15）C的轨迹与直线有两个交点；•16）动点的轨迹为双曲线；•17）本题要求的是线段的长度；•18）本题是个计算题；•……34步骤（3）：对所列属性进行否定，列出新的属性•对于属性1），我们问：“如果已知的不是两个点A和B，情形将如何？”用布朗和沃尔特的记号（（～1）表示对属性1）的否定，以下类推），可以部分列出如下新的属性。•（～1）1：给定一点A和直线l;•（～1）2：给定两直线l1和l2；35对于属性7），我们问：“如果已知的不是距离之差的绝对值，情形将如何？”可列出以下新属性。•（～7）1：已知C到A、B距离之和；•（～7）2：已知C到A、B距离之积；•（～7）3：已知C到A、B距离之比；•（～7）4：已知C到A、B距离之平方和。36对于属性14），我们问：“直线在y轴上的截距不是一个具体数值，情形将如何？”可列出以下新属性。•（～14）1：直线在y轴上的截距为m；•（～14）2：直线在y轴上截距的范围是[-1,1]；37对于属性17），我们问：“如果所求的不是线段的长度,情形将如何？”可列出以下新属性。•（～17）1：求线段DE的中点；•（～17）2：求线段DE的垂直平分线方程；•（～17）3：求⊿ADE的面积；•（～17）4：判断⊿DOE的形状(O为坐标原点)。•（～17）5：求OD2+OE2。38步骤（4）：基于一个或若干个新属性提出新问题。•根据（～14）2可提出如下问题：“已知点A（-，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-m交于D、E两点，当-1≤m≤1,求线段DE长度的取值范围。”3339根据（～1）1、（～7）4和（～17）2可提出如下问题。•已知点A（，0）和直线l:x=-,动点C到点A和直线l距离平方之和等于12，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的垂直平分线方程。3340四引导学生提出数学问题的策略1.使学生了解提出问题的重要性，必要性与可行性，激发和树立学生提出数学问题的动机和信心；2.注重引导学生挖掘、发现和分析隐藏于数学情境中的内在信息，激励学生大胆猜想、探究、独立提出数学问题；413.教给学生提出数学问题的方法。如：根据数学情境中的信息或联系生活实际，按照逻辑推理或猜想