立体几何及面积体积

立体几何1.空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱的侧棱都，上、下底面是的多边形.②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是多边形.平行且相等全等相似知识梳理1知识梳理答案(2)旋转体①圆柱可以由绕其一边所在直线旋转得到.②圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到.③圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.④球可以由半圆或圆绕所在直线旋转得到.矩形直角边直角腰直径答案(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的圆.②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.知识拓展1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是，表面积是侧面积与底面面积之和.所有侧面的面积之和答案圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrlπ(r1＋r2)l答案名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝3.柱、锥、台和球的表面积和体积Sh4πR213Sh43πR3答案表面积、全面积和侧面积•表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）•全面积全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和•侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）棱柱、棱锥、棱台的侧面积•侧面积所指的对象分别如下：•棱柱----直棱柱。•棱锥----正棱锥。•棱台----正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是什么形状的图形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝.（类比矩形的面积）②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么S圆柱侧＝.（类比矩形的面积）ch2πrl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积(1)柱体的侧面积圆柱的侧面展开图是矩形2222()SrrlrrlOOrl2r底侧表面积SSS2①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝.（类比三角形的面积）②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么S圆锥侧＝.（类比三角形的面积）1∕2ch′πrl(2)锥体的侧面积圆锥的侧面展开图是扇形r2lOr2()Srrlrrl①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝.②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝．1∕2(c＋c′)h′πl(r′＋r)(3)台体的侧面积注：表面积＝侧面积＋底面积．参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．r2lOrO’'r'2r圆台的侧面展开图是扇环2'2'()Srrrlrl思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？1r2rl扇环lrrSS)21（＝＝扇环圆台侧r2lOrO’'r'2r2'2'()Srrrlrlx'rxrxl''rxrxrlS侧''()()rlxrxrlrxrx'()rlrllOrO’'r圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？lOOrlOr2222()Srrlrrl2()Srrlrrl2'2'()Srrrlrl小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式')'cc21hS＋（＝正棱台C’=0'21chS＝三棱锥C’=CchchS'＝直棱柱S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为，求其侧面展开图扇环所对的圆心角32分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式；2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为______;答：60例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积79答：例3已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，aSBSD2360sin所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作，ABCBCSD例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．【思路点拨】(1)证明△AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积．【解】(1)设正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为x.∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC.又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC，∴AE⊥侧面BB1C1C，在Rt△AED中，由AE＝DE，得1＋x24＝3，解得x＝22.即正三棱柱的侧棱长为22.【点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求．(2)S＝S侧＋S底，S侧＝3×2×22＝122，S底＝12×3×2×2＝23，∴S＝S侧＋S底＝122＋23.公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体=abc推论1、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。V长方体=sh推论2、正方体的体积等于它的棱长a的立方。V正方体=a3定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积s和高h的积。V柱体=sh二：柱体的体积推论：底面半径为r，高为h圆柱的体积是V圆柱=r2h3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积shV31三棱锥定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是：hSSＶ锥体＝Ｓｈ3131Ｖ圆锥＝πｒ２ｈShss/ss/hx四.台体的体积V台体=1h(s+ss'+s')3上下底面积分别是s/,s,高是h，则推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是ｈ，那么它的体积是：31Ｖ圆台＝πh)(222121rrrr五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShV0SS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV31SSS为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小(1)长方体的体积V长方体＝abc＝.(其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高)(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积V柱体＝Sh.其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．Sh知识点二．柱、锥、台、球的体积(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积V锥体＝13Sh.其中V圆锥＝，r为底面半径．1∕3πr2h(4)台体的体积公式V台＝13h(S＋𝑺𝑺′＋S′)．注：h为台体的高，S′和S分别为上下两个底面的面积．其中V圆台＝．注：h为台体的高，r′、r分别为上、下两底的半径．(5)球的体积V球＝.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)4∕3πR3规律方法总结1．直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．2．斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积．3．如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝ch.4．应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用．规律方法总结5．如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加．6．求球的体积和表面积的关键是求出球的半径．反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小．7．计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题．8．计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可.常用方法：割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积.（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.探究提高ShV31方法与技巧1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.思想方法感悟提高（1）几何体的“分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.(2)几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.（3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.失误与防范1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.1.四个公理公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线.两点不在一条直线上有且只有一条平行答案直线直线2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类平行共面直线异面直线：不同在一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a