(3.1.1两角和与差的余弦公式)

第三章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦公式问题提出1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.而对于非特殊角如75°，15°的三角函数值如何求？探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角,猜想cos(α－β)＝?cos(60°－30°)≠cos60°－cos30°coscos)cos(思考2：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？ΟΑΟBBOAxyαβ(cosα,sinα)ΟΑcoscossinsinOAOB(cosβ,sinβ)OB思考3：向量的夹角θ,根据数量积定义等于什么?θ与α、β有什么关系？由此可得什么结论？cosOAOBOAOBBOAxyαβθcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα-β=2kπ＋θOAOBcos思考4：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？)(C探究（二）：两角和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？()C探究（三）：公式的应用例1利用余弦公式求cos15°的值.coscoscos45cos30sin45sin302321222262.4（1）15（45-30）=coscos（2）15（60-45）coscos45sin60sin451232222262.4=60例2已知β是第三象限角,求cos(α－β)的值.4sin,5,,2理论迁移5cos,134sin,5,,2解：由得22512sin1cos11313又由β是第三象限角，得5cos,132243cos1sin155所以cos(α－β)=33coscossinsin65提示：coscos().拆角思想:的值。求都是锐角，已知例cos,135)cos(,54cos,.33sin,5cos()4a1.已知是第四象限的角，求的值。练习2.化简求值cos20cos70sin20sin70（1）cos()cos()sin()sin()（2）cos58cos37cos32cos53（3）cos()cos()73,2,,cos244443.已知=，=-，且55+-求提示：cos2cos(.)()拆角思想:小结作业1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.作业：P127练习：1，2，3，4.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.6)6(