几何图形中的动点动态相关计算

题型二几何图形中的动点、动态相关计算类型一与旋转有关★1.如图,在等边△ABC中,AB＝10,点D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则线段DE的长度为（）A.43B.53C.63D.73第1题图B【解析】∵△ABC为等边三角形,∴AB＝BC＝10,∠B＝∠BAC＝60°,∵D是BC的中点,即BD＝DC＝12BC＝5,AD⊥BC,∠BAD＝30°,∴AD＝3BD＝53,∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE,∴∠DAE＝∠BAC＝60°,AD＝AE,∴△ADE为等边三角形,∴DE＝AD＝53.★2.如图,△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,BC＝3,△A′B′C由△ABC绕点C点顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,恰好A,B′,A在同一条直线上,A′D∥BC交AC的延长线于点D则A′D的长为（）A.33B.23C.332D.233第2题图C【解析】∵∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠BAC＝30°,∵BC＝3,∴AB＝23,AC＝AB2－BC2＝3,∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C,∴A′C＝AC＝3,∠B′A′C＝∠BAC＝30°,∠A′B′C＝∠B＝60°,∴△CAA′为等腰三角形,∴∠CAA′＝∠B′A′C＝30°,∴∠A′CD＝60°,又∵A′D∥BC,∴∠D＝∠BCD＝90°,∴在Rt△A′CD中,CD＝12A′C＝32,∴A′D＝A′C2－CD2＝332.★3.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的周长是________．第3题图第3题解图22【解析】如解图,连接DC1,∵四边形AB1C1D1是正方形,∴∠C1AB1＝12×90°＝45°＝∠AC1B1,∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,∴∠B1AB＝45°,∴∠DAB1＝90°－45°＝45°,AC1过D点,即A、D、C1三点共线,∵正方形ABCD的边长是1,∴四边形AB1C1D1的边长是1,在Rt△C1D1A中,由勾股定理得：AC1＝12＋12＝2,则DC1＝2－1,∵∠AC1B1＝45°,∠C1DO＝90°,∴∠OC1D＝45°＝∠C1OD,∴DC1＝OD＝2－1,同理得出A、B1、C三点共线,求得OB1＝2－1,∴四边形AB1OD的周长是AD＋OD＋OB1＋AB1＝1＋2－1＋2－1＋1＝22.★4.如图,在正方形ABCD中,AD=23,把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则△PCE的面积为.第4题图第4题解图9-53【解析】∵∠PBC=30°,BC=BP=AB,∴∠BCP=∠BPC=75°,∠ABP=∠APB=∠BAP=60°,∴△APB为等边三角形,∴AP=AB=AD=23,∠PAD=30°,∴AE=30cosAD=4,DE=AD30tan=2,如解图,过点P作PM⊥CD于点M,则PM//AD,∴∠PAD=∠EPM=30°,∵PE=AE-AP=4-23,∴PM=PE23)324(30cos=23-3,∵CE=CD-DE=23-2,∴S△PCE=21ECPM=21(23-2)(23-3)=9-53.类型二与折叠有关（含最值）★1.如图,在平行四边形ABCD中,点P为边AB上一点,将△CBP沿CP翻折,点B′的对应点B恰好落在DA的延长线上,且PB′⊥AD,若CD=3,BC=4,则BP的长度为（）A.34B.35C.43D.45第1题图A【解析】由折叠的性质可得：PB′=PB,∠PB′C=∠B,∵四边形ABCD是平行四边形,PB′⊥AD,∴∠B=∠D,∠PB′A=90°,∴∠D+∠CB′D=90°,∴∠DCB′=90°,∵CD=3,BC=4,∴AD=B′C=BC=4,∴DB′=22BCCD=5,∴AB′=DB′-AD=1,设BP=x,则PB′=x,PA=3-x,在Rt△AB′P中,PA2=AB′2+PB′2,∴x2+12=（3-x）2,解得x=34,∴BP=34.★2.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,折痕为MN,若AB＝2,BC＝4,那么线段MN的长为（）A.255B.5C.455D.25第2题图第2题解图B【解析】如解图,连接BM,DN,在Rt△BCD中,DC＝AB＝2,BC＝4,根据勾股定理得BD＝22CDBC＝25,∴OB＝OD＝12BD＝5,由折叠性质得,∠BON＝∠MOD＝90°,BN＝DN,∵AD∥BC,∴∠MDO＝∠OBN,∴△MOD≌△BON(AAS),OM＝ON,∵BC＝BN＋CN＝4,∴CN＝4－BN,在Rt△CDN中,CD＝2,根据勾股定理得：CN2＋CD2＝DN2,即(4－BN)2＋22＝BN2,∴BN＝52,在Rt△BON中,ON＝BN2－BO2＝52,∴MN＝2ON＝5.★3.如图,已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M,E在边AD上,点F在边AB上,并且DM=1,现将△AEF沿着直线EF折叠,使点A落在边CD上的点P处,则当PB+PM的和最小时,ME的长度为.第3题图第3题解图94【解析】延长AD到点M′,使得DM′=DM=1,连接PM′,如解图,当PB+PM的和最小时,M′、P、B三点共线,∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=2,∴DC=AB=4,AD=BC=2,AD//BC,∴△DPM′∽△CPB,∴21BCMDPCDP,∴DP=21PC,∴DP=31DC=34.设AE=x,则PE=x,DE=2-x,在Rt△PDE中,∵DE2+DP2=PE2,∴（2-x）2+(34)2=x2,解得x=913,∴ME=AE-AM=913-1=94.★4.如图,在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部,将BG延长交DC于点F,若DF=CF,则ABAD的值为.第4题图第4题解图2【解析】如解图,连接EF,则∠EGF=∠D=90°,∵点E是AD的中点,∴由折叠的性质知,EG=AE=ED,在Rt△EGF和Rt△EDF中,EFEFEDEG,∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）,∴GF=DF,设FC=x,BC=y,则有GF=DF=x,AD=y,∵DC=2FC,∴DC=AB=BG=2x,∴BF=BG+GF=3x.在Rt△BCF中,由勾股定理得：BC2+CF2=BF2,即y2+x2=(3x)2,∴y=22x,∴22xyABAD.类型三与动点有关（含最值）★1.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝60°,点E是AD边中点,点P是对角线BD上的动点,当AP＋PE的值最小时,PC的长是（）A.3B.23C.233D.33第1题图第1题解图C【解析】如解图,连接AC,作点E关于直线BD的对称点E′,连接AE′,则线段AE′的长即为AP＋PE的最小值,∵菱形ABCD的边长为2,E是AD为中点,∴DE＝DE′＝12AD＝1,∵∠ABC＝60°,∴∠ADC＝60°,又∵AD＝CD,∴△ACD为等边三角形,∴AE′⊥CD,∴△AE′D是直角三角形,∵∠PDE′＝12∠ADC＝30°,∴PE′＝DE′·tan30°＝33,∴PC＝PD＝2PE′＝233.★2.如图,设半径为3的半圆⊙O,直径为AB,C、D为半圆上的两点,P点是AB上一动点,若AC︵所对的圆心角的度数为96°,BD︵所对的圆心角的度数为36°,则PC＋PD的最小值是（）A.43B.23C.3D.23第2题图第2题解图33【解析】如解图,连接OC,OD,设点D关于AB的对称点为点E,连接CE交AB于P,连接OE,则此时PC＋PD的值最小,且PC＋PD＝PC＋PE＝CE.连接OC、OE,∵∠AOC＝96°,∠BOD＝36°,∴∠COD＝48°,即∠COE＝120°,过点O作OF⊥CE于点F,则∠COF＝60°,在Rt△OCF中,OC＝3,∠COF＝60°,因此CF＝233,∴CE＝2CF＝33,即PC＋PD的最小值为33.★3.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,P是线段AC上一个动点,连接BP,过C作CD⊥BP于D,交AB于E,连接AD,则线段AD存在最小值,最小值为.第3题图第3题解图22-2【解析】∵CD⊥BP,∴∠CDB=90°,∴点D总在以BC为直径的圆O上,∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离,∴当点D为OA与圆的交点时,线段AD最短,如解图,∵∠ACB=90°,AC=2,BC=4,∴OC=2,∴OA=22CAOC=22,∴AD=OA-OD=22-2,即线段AD存在最小值,最小值为22-2.★4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是.第4题图第4题解图524【解析】过点D作DE⊥AB于点E,过点E作EQ⊥AC于点Q,EQ交AD于点P,连接CP,此时PC+PQ=EQ取最小值,如解图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=22BCAC=10,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACD和△AED中,ADADEADCADAEDACD90,∴△ACD≌△AED(AAS),∴AE=AC=6.∵EQ⊥AC,∠ACB=90°,∴EQ//BC,∴BCEQACAQABAE,∴EQ=524.