一轮复习-不等式的性质

世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。《不等式》高考要求:1.高考对不等式的要求对比以前有所降低，以选择填空题或大题的某一问的形式出现。2.高考考查不等式的分值约10分，一个小题和一个大题的某一问。2.考查知识点有：（1）不等式的概念和性质（2）不等式的证明（3）不等式的解法1．实数大小的基本性质2．做差比较法的基本步骤及要点．3.同向异向不等式同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式.异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：ab，cd，是异向不等式.0baba0baba0baba复习回顾作差→变形（通分、因式分解、配方、根式有理化）→定号→结论。探究：不等式的基本性质性质1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性)即：ab⇔ba.证明：ab⇒a-b0⇒-(a-b)0⇒b-a0⇒baba⇒b-a0⇒-(b-a)0⇒a-b0⇒ab性质2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性)即ab，bc⇒ac证明：根据两个正数之和仍为正数，得-0()()0-00.abababbcbcbcacac注：不等式的传递性可以推广到n个的情形．性质3：如果ab，那么a+cb+c．即ab⇒a+cb+c(可加性）证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b0,∴a+cb+c.推论1：不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．（移项法则）如果a+bc,那么ac-b即a+bc⇒ac-b推论2：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则)即ab，cd⇒a+cb+d．证明：∵ab,∴a+cb+c①又∵cd,∴b+cb+d.②由①②得a+cb+d例1：已知ab，cd，求证：a-cb-d．(相减法则)证明：∵ab,cd,∴ab,-c-d.根据性质3的推论2，得a+(-c)b+(-d),即a-cb-d性质4：如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc.（可乘性）①ab,c0⇒acbc.证明：ac-bc=(a-b)c,∵ab,∴a-b0,又∵c0,根据同号相乘得正，∴(a-b)c0⇒acbc。推论1：如果ab0，且cd0，那么acbd。(相乘法则)证明:由性质3得bdacbdbccdcobcaccba00000思考感悟：若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd成立吗？证明：因为个nbababa0...00根据性质4的推论1，得bann推论2：若0,(1)nnababnNn则且(乘方法则）证明：用反证法。假定nnba，即nnba或nnba根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b.这都与ab矛盾，因此nnba推论3：若0,(1)nnababnNn则且（开方法则）例2.已知ab,ab0,求证：11.ab分析：可用作差法也可用不等式的性质。解法1：∵ab,∴b-a0.又∵ab0∴ababba110abab解法2：∵ab0∴∴ba1101ab又∵ab，由不等式的性质知abbaba11，即ab11思考：如果ab0呢？探究点2不等式的性质的应用1.,,abmRabamabmb设(正实数集),且，试比较与的大小。性质：(糖水不等式)如果ab，m0，则.abmamb1ab0,所以ab0,0.ab11于是a×b×，abab11即.bacc由c0因,得.a为证：b明你还有其他证明方法吗？证明：还可以利用作差法.课堂练习判断下列各命题的真假．(1)若a＞b，则ac＜bc；(2)若ac2＞bc2，则a＞b；(3)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；(4)ca＜cb，且c＞0，则a＞b；练习：例4:若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：ea－c2＞eb－d2.证明：cd0⇒－c－d0ab0⇒a－cb－d0⇒a－c2b－d20⇒1a－c21b－d2e0⇒ea－c2eb－d2.练习1.已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解（待定系数法）设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，58,33mn所以9a－b=(a－b)+(4a－b)5383由－4≤a－b≤－1，得5520()333ab≤≤由－1≤4a－b≤5，得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得－1≤9a－b≤20.4(1)1,1(2)5ff)3(f例6求:的取值范围.已知:函数,)(2caxxf不等式的基本性质总结性质1：对称性abba性质2：传递性ab，且bc⇒ac性质3：可加性ab⇒a+cb+c推论1：移项法则a+bc⇒ac-b推论2：相加法则ab，cd⇒a+cb+d性质4：可乘性ab,且c0⇒acbcab,且c0⇒acbc推论1：相乘法则ab0，且cd0⇒acbd推论2：乘方法则ab0bann(nN,n1)推论3：开方法则ab0⇒(nN,n1)nnba归纳小结：不等式的性质是不等式这一章内容的基础，是不等式证明和解不等式的主要依据，因此应特别重视，应熟练掌握和运用不等式的四大性质和五大推论。不等式的证明过程是应用不等式对已知不等式进行变形，从而得出要征的不等式，是证明不等式的常用方法之一。