高中常见函数图像及基本性质

实用标准文案精彩文档常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数f(x)=b(b∈R)1）、y=a和x=a的图像和走势2）、图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线一次函数f(x)=kx+b(k≠0,b∈R)1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓4）、定义域：R值域：R单调性：当k0时；当k0时奇偶性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；反函数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。补充：反函数定义：例题：定义在r上的函数y=f（x）;y=g（x）都有反函数，且f（x-1）和g-1(x)函数的图像关于y=x对称，若g（5）=2016，求f（4）=周期性：无5）、一次函数与其它函数之间的练习1、常用解题方法：2、与曲线函数的联合运用xybOf(x)=bxyOf(x)=kx+bR2）点关于直线（点）对称，求点的坐标实用标准文案精彩文档反比例函数f(x)=xk(k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远)图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(值域：),0()0,(单调性：当k0时；当k0时周期性：无奇偶性：奇函数反函数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较3）、f(x)=dcxbax(c≠0且d≠0)（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2acbxaxxf顶点式：)0()()(2ahkxaxf两根式：)0)()(()(21axxxxaxf图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为②当0a时，开口向上，有最低点当0a时。。。。。③当=0时，函数图象与x轴有两个交点（）；当0时，函数图象与x轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。④)0()(2acbxaxxf关系)0()(2aaxxf定义域：R值域：当0a时，值域为（）；当0a时，值域为（）单调性：当0a时；当0a时.奇偶性：b=/≠0反函数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周期性：无补充：1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的）2、xyOf(x)=dcxbaxxyOf(x)=cbxax2实用标准文案精彩文档3、二次函数的对称问题：关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于（m，n）对称4、二次函数常见入题考法：⑴交点（交点之间的距离）⑵值域、最值、极值、单调性⑶数形结合判断图形走势（选择题）指数函数)1,0()(aaaxfx，系数只能为1。图象及其性质：1、恒过)1,0(，无限靠近x轴；2、xaxf)(与xxaaxf)1()(关于y轴对称；但均不具有奇偶性。3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”——靠近关系定义域：R值域：),0(单调性：当0a时；当0a时。奇偶性：无反函数：对数函数)1,0(log)(aaxxfa周期性：无补充：1、2、图形变换Log21/x和Log2-xln（x-1）和lnx-1对数函数（和指数函数互为反函数）)1,0(log)(aaxxfa图象及其性质：①恒过)0,1(，无限靠近y轴；②xxfalog)(与xxxfaaloglog)(1关于x轴对称；③x＞1时“底大图低”；0＜x＜1时“底大图高”（理解记忆）定义域：R值域：),0(单调性：当0a时；当0a时；奇偶性：无反函数：指数函数)1,0()(aaaxfx周期性：无补充：1、xyOf(x)=)1(aaxf(x)=)10(aaxxyOf(x)=)1(logaxaf(x)=)10(logaxa实用标准文案精彩文档双钩函数xxxf1)(（变形式）图象及其性质：①两条渐近线：②最值计算：定义域：值域：单调性：奇偶性：奇函数反函数：定义域内无反函数周期性：无注意:双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法幂函数（考察时，一般不会太难）无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。不需要背记，只要能够快速画出n=±1，±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行注意：掌握y=x3的图像；掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像(当a0,当a0时)；补充：利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。例：P393，例题10实用标准文案精彩文档函数)(xfy图象变换一．平移变换二．对称变换①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称；②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称；③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称；④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称；⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f（|x|）的图象：可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．三、伸缩变换①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到原来的a1，纵坐标不变而得到．四、函数及图象(大致图象)典型例题精讲例1：已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（A）A．1||22xxB．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D．122xx解析：当f（x）＝1||22xx时，|1|||)1|(|)(2xxxf)1()1()01(1)10(1)1(1xxxxxxxx向下平移b个单位向上平移b个单位向左平移a个单位向右a平移个单位y=fx()y=fx+a()y=fx()-by=fx()+by=fx-a()实用标准文案精彩文档其图象恰好是上图．例2：画出函数y＝lg|x＋1|的图象．解析：y＝lg|x＋1|)1()1lg()1()1lg(xxxx．例3：要将函数y＝12xx的图象通过平移变换得到y＝x1的图象，需经过怎样的变换？解析：y＝11x－1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得到y＝x1的图象．例4：方程kx＝2)2(1x有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．解析：设y1＝kx①y2＝2)2(1x②方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA与半圆相切时，33OAk，故当0≤k＜33时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜33时，原方程有两个不相等的实根．例5：作函数f（x）＝x＋x1的图象．分析：f（x）＝x＋x1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究．解析：函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f（－x）＝－f（x），实用标准文案精彩文档∴f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，又|f（x）|＝|x＋x1|＝|x|＋||1x≥2，当且仅当|x|＝1时等号成立，∴当x0时y≥2；当x0时，y≤－2；当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0，∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象，再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．评述：（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．例6：f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示．令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（B）A．若a0，则函数g（x）的图象关于原点对称B．若a＝－1，－2b0，则方程g（x）＝0有大于2的实根C．若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根D．若a≥1，b2，则方程g（x）＝0有三个实根解析：将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b0）或向下（b0）平移|b|个单位，得g（x）＝af（x）＋b的图象．例6：(全国Ⅱ)把函数y＝ex的图象按向量a＝(2，3)平移，得到y＝f(x)的图象，则f(x)＝(C)(A)ex－3＋2(B)ex＋3－2(C)ex－2＋3(D)ex＋2－3例7：(菏泽模拟)如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(D)实用标准文案精彩文档(A)m0，n1(B)mO，nl(C)mO，0n1(D)m0，0n1例8：(安庆模拟)函数y＝e－｜x－1｜的图象大致是(D)例9：在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0，2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（B）A．95B．91C．88D．75解析：画出图象，补形做出长方形AOBC，共有整点数11×16＝176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×21＝91．例10：将函数y＝log21x的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线y＝x对称，那么C2对应的函数解析式是_____．解析：C:y＝log21（x－1）；由－y＝log21（－x－1）得C1:y＝log2（－x－1）；求C1的反函数得y＝－1－2x．例11：若函数y＝｜－x2＋4x－3｜的图象C与直线y＝kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线有个交点．解析：（数形结合法）作y＝｜－x2＋4x－3｜的图象，知其顶点在M（2，1）．过原点与点M（2，1）作直线y＝kx，如图．实用标准文案精彩文档∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．例12：作函数y＝（21）|x－1|的图象．解析:（1）y＝).1(2),1(21)1(xxxx故它在区间［1，＋∞）上的图象，可由y＝2－x（x≥0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到在区间（－∞，1）上的图象，可由y＝2x（x0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到．例13：已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（a＋x）＝f（a－x），求证y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．证明:设p（x0，y0）是y＝f（x）图象上的任一点，则有y0＝f（x0），设点P关于直线x＝a的对称点为p′（x′，y′），则有002yyxax，即yyxax002由y0＝f（x0）)()()]([)2(xafxafxaafxafy又y′＝f［a－（a－x′）］＝f（x′）．即点p′（x′，y′）也在y＝f（x）的图象上．∴y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．例14：画出函数y＝12x的图象，并利用此图象判定方程12x＝x＋a有两个不同的实数解时，实数a所