求异面直线距离的几种方法

学士学位论文求异面直线距离的几种方法摘要本论文分别借用向量方法，平行六面体的高，向量的射影，点到平面的距离，两点间的距离和平行平面的距离，给出空间两异面直线的距离公式的方法来总结了求异面直线之间距离的定义法，转化法，极值法，射影法…等十种方法。关键词：异面直线；异面直线之间的距离；目录摘要...............................................................1引言...............................................................11.定义法（直接法）.................................................12.转化法...........................................................22.1转化为线面距离法............................................22.2转化为面面距离法............................................33.极值法...........................................................34.射影法...........................................................45.公式法...........................................................56.平移法...........................................................77.垂面法...........................................................88.向量法...........................................................89.行列式法........................................................10总结..............................................................12参考文献..........................................................13致谢..............................................................14FHBACDE引言求异面直线之间的距离是中学数学中的重要概念之一，也是空间距离问题的难点，弄清异面直线距离的有关概念和性质是求异面直线距离的前提。求异面直线之间的距离在中学数学中没有具体讲解，所以本论文利用定义法（直接法），转化法，极值法，射影法，公式法，平移法，垂面法，向量法及行列式法和实际例题来解决关于求异面直线之间的距离问题。求异面直线间的是中学数学的一个难点，难就难在不知怎样找异面直线的公垂线段，也不会将所求的问题进行转化。解答此类问题，主要的方法有将两条异面直线的距离转化为直线与平面的距离，或转化为平面与平面的距离，或转化为一元二次函数的最值问题，或转化为用等体积的方法等来求解。特点：即不平行也不相交，两直线永远不可能在同一平面内。定义和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分叫做异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离。性质1任意两条异面直线有且只有一条公垂线。性质2两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连接两条异面直线上两点线段中最短的长度下面我将求两条异面直线的距离的几种方法作一归纳总结。1.定义法（直接法）定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线段，然后求出公垂线段长即异面直线之间的距离。例1：如图所示，边长均为a的两个正方形ABCD和CDEF成120°的二面角。求异面直线CD与AE间的距离。解：如图中，四边形ABCD与CDEF是正方形得,CDADCDDECD平面AED过点D作DHAE，垂足为H又CD平面AED，得CDDH又因为DHAE，得DH是CD与AE的公垂线（异面直线AE与CD间的距离）在ADE中，ADE=120°，AD=AE=a，DHAE，得DH=21AD=21DE=2a即异面直线CD与AE的距离为2a；2.转化法转化法将两条异面直线的距离转化为直线与平面距离或转化为平面与平面的距离求解。2.1转化为线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，因此直线与平面的距离即为所求异面直线的距离。例2.如图所示，正方体ABCD-1111DCBA的棱长为a，求异面直线BD与CB1之间的距离。解：连接DBBDDC和,因为DBBD//得CDBBD平面//而CDBCB平面从而BD与CB的距离就是BD与平面CDB的距离为h；用体积法，VVBCBDBCBBCDBBCBBhSV31326121.31.21..3131aaaBCBBDChSCDBBCBBV因为2CDDBCB，所以CDB是等边三角形即223aSCDBC'CB'D'A'DAB从而23131326haa得33ha；2.2转化为面面距离法面面距离法就是所求异面直线的距离转化为求分别过两条异面直线的两个平行的平面间的距离。例3.如图所示，正方体DCBAABCD的棱长为1，求异面直线CBBD与的距离。解：如图，分别连接CADBCDDABA,,,,因为CBBABDDB//,//CBDCBBD平面,,BDABDBA平面,得平面//CDB平面BDA且对角线CA为两个平面的公垂线，由体积法可以得出A到平面BDA的距离等于C到平面CDB的距离为33因为322AAADABCA从而BDA与CDB平面的距离等于333.3131CA,两平面间的距离就是BD与CB之间的的距离，即BD与CB之间的的距离为33；3.极值法极值法就是把两条异面直线间的距离表示成某一个变量的函数，从而通过求函数的最小值来求异面直线间的距离。QNDMC'B'ACBA'例4，如图，棱长为4的正三棱柱CBAABC中，D是AB的中的，求CD与CA间的距离。解：CA在上任取一点M，作ACMN垂足为N，则MN平面ABC又作CDMQ,垂足为Q，连接NQ，则MNQCD平面因此CDNQ,CNQ为直角三角形设xMN，则xCNxAN4,在CNQRt中，30ACD°得，)4(2121xCNNQ由勾股定理，516)54(45)4(41222222xxxNQMNMQ当54x时，5162MQ；即CD与CA间的距离为554；4.射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条异面直线，那么点和直线两条平行线的距离就是这两条异面直线射影间的距离。例5.如图在正方体DCBAABCD中，NMAB,,1分别是棱CCAB,的中点，E是BD的中点，求异面直线ENMD,间的距离。解：把异面直线ENMD,的射影到同一平面内，两射影间的距离就是所求异面直线之间的距离。取BC的中点Q，连接EQ,EN因为E,Q是中点，得CCBDCBCEQDCEQ平面,,//QNEFMD'C'B'A'CDABnmAEdBDCA得CBCEQ平面又因为QNEQ得，EN的射影为QN。再取CD的中点F，同理，MF是MD的射影，CBMF//得CB是MD的射影。从而CBQM,是EN和MD在平面BCBC上的射影。QN与CB间的距离就是两条异面直线的距离因为Q是BC的中点，得21QBQC又45BQC°，设QN与CB的距离为h，从而41222BQh得42h，即异面直线ENMD,间的距离为42；5.公式法求异面直线之间的距离，我们还可以用下面两个公式来求。公式1如图⑴，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为，三棱锥A-BCD的体积为VBCDA,则异面直线AB与CD间的距离sin6CDABdVBCDA⑴⑵mnPD'C'B'A'CDAB公式2.已知面积，二面角a的平面角为，如图（2），直线b与平面，分别交与A,E到棱a的距离为n,m,则异面直线a与b之间的距离cos2sin22mnnmmnd例6.如图，已知正方体DCBAABCD，其边长为Pa,是CB的中点，求AC与BP间的距离。解：（公式1）设异面直线AC与BP所成的角为取DA的中点N，连接AN因为P是CB的中点，得//BPANACD，则很容易解能求出10103sinCAD;aBPaAC25,26213132aaaVABCPaaaaBPACdVABCP321010325266sin63即AC与PB之间的距离为a32；（用公式2）解：设B到AC的距离为m，P到AC的距离为n.232,24mana设二面角P-AC-B的平面角为PQNOD'C'B'A'CDAB用面积的射影公式得31cos因为1cossin22得332sinaaaaaaamnnmmnd3231423222892133222322cos2sin2222即AC与PB之间的距离为a32；6.平移法找出一条直线，使两条直线都垂直，但这条直线不是公垂线，这时把这条直线设法平移到这两异面直线相交然后求出这两异面直线的公垂线。例7.已知正方体DCBAABCD，其边长为a，求AC与DA间的距离。解：如图，由正方体的性质,,ACDBDADBBD与AC交与O在DDB中，将DB平移到ON处，连接AN，可知N为DD的中点设AN与DA交点为Q,将DN平移到PQ，可知，PQ是AC与AD的垂线由平面几何知识，12QNAQ则32ANAQPQON//得ANAQMNPQ，则3223aPQ，得出aPQ33即AC和DA间的距离为a337.垂面法若两条直线是异面直线，过其中一条做平面，使这条直线与平面垂直，在平面内，过这条直线垂足点作另一条直线的垂线，垂足和前一个垂足的连线就是公垂线。例8.DCBAABCD，其边长为1求BD与CA之间的距离。解：连接AC，AC与BD交与P点平面AABDBDAACACBD过P作CAPQ又因为PQ平面CAA所以BDPQ又CAPQ,所以PQ为BD与AC的公垂线因为3CA,2AC2623sinCAACCAACAARt中，2221ACPCPQCRt中，626sin,则sin226PQQCPPQQCPPCPC即BD与CA之间的距离为66；8.向量法向量法又叫做法向量投影法，一般步骤是：⑴建立空间直角坐标系,求异面直线a,b的方向向量ba,在求出ba,的法向量n（向量n均与向量ba,垂直）⑵分别在直线a,b上各取一点A,B，求做向量AB⑶求向量AB在法向量n上的投影ABndn例9，如图，已知正方形DCBAABCD，其棱长为1，求异面直线DA与AC之间的距离。解：建立空间直角坐标系xyzD设n=,,xyz是过直线AD且平行于AC的平面的法向量。因为nADnAA,所以00nADnAA又1,0,1DA,1,1,0AC所以00xzxy