第18讲-取整计算

第18讲取整计算任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。比如，做一件上衣需要2米布，求5米布能做几件上衣？由5÷2=2.5，取2.5的整数部分2，得到正确答案是2件。为了方便，我们引进符号［］：［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，（1）［a］≤a；（2）a≤［a］＋1；（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；（4）若a≤b，则［a］≤［b］；（5）若n是整数，则［a＋n］=［a］＋n。同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。例题精讲【例1】计算［13÷［π］×4］。解：［13÷［π］×4］=［13÷3×4］=3117=17【例2】1000以内有多少个数能被7整除？分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有1427614271000【例3】求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。分析：由例2知道，1~1000中能被2，3，5整除的数分别有21000，31000，51000个。如果认为答案是这三个数相加就错了。因为有些数即能被2整除又能被3整除，这样的数有321000个；有些数即能被2整除又能被5整除，这样的数有521000个；有些数即能被3整除又能被5整除，这样的数有531000个.这些数都被重复计算了，应当减去。另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上。也就是容斥原理。解：21000+31000+51000-321000-521000-531000+5321000=500+333+200-166-100-66+33=734知识点拨【例4】1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。用例3的方法可求出这部分数的个数。1000与这部分数的个数之差即为所求。解：73100071000310001000=1000-333-142+47=572【例5】求下式约简后的分母：分析与解：因为6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500。只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。因为36=729＜1000＜37＝2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3。因为在1~1000中，至少有1个因子3的数有31000个，至少有2个因子3的数有231000个……至少有6个因子3的数有631000个，所以分子中因子3的个数为498141237111333310003100031000310003100031000654321与分母约分后，分母还剩两个因子3。所以，约简后的分母是9。注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。因为式中的分子都是1000，分母依次是3，32，33，…后面一个是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。于是得到333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方。【例6】在下面的等式中，M，n都是自然数，n最大可以取几？1×2×3×…×99×100＝12n×M。分析与解：因为12=22×3，所以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3，这些因子2和因子3能“凑”出多少个12，问题就解决了。与例5类似，可求出等号左边因子2和因子3分别有9713612255021002100210032148131133310031003100321因为97个因子2与48个因子3最多可以“凑”出48个12，所以n最大是48。【课后练习】【1】计算12]313[8.13【2】请给出三个数a，b，c，使满足：［a］＋［b］=［a＋b］，［a］＋［c］＜［a＋c］。【3】在1000～2000中，有多少个数是8的倍数？【4】500以内有多少个数能被3或者能被5整除？【5】在10000以内，既不是2也不是3也不是5的倍数的数有多少个？【6】K是自然数，且下式是整数，求K的最大值。k72000701700【7】求下式约简后的分母：6100290662564236221