利用导数解全参数范围地八种策略

标准文档实用文案巧用导数解参数问题的八种策略张红娟2012.10.18学习收获现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键:分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围：结论一、不等式()()fxga恒成立min()()fxga（求解()fx的最小值）；不等式()()fxga恒成立max()()fxga（求解()fx的最大值）.结论二、不等式()()fxga存在解max()()fxga（求解()fx的最大值）；不等式()()fxga存在解min()()fxga（即求解()fx的最小值）.案例1、（2009福建卷）若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.分析：)0(12)(xxaxxf依题意方程120axx在0,内有解，即)0,()0(212axxa案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2fxxbx在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是（）A.[1,)B.(1,)C.(,1]D.(,1)分析：由题意可知02)(xbxxf，在(1,)x上恒成立，即1)1()2(2xxxb在(1,)x上恒成立，由于1x，所以1b，案例3、（2008广东卷）设aR，若函数3axyex，xR有大于零的极值点，则（）A．3aB．3aC．13aD．13a标准文档实用文案分析：'()3axfxae，若函数在xR上有大于零的极值点，即'()30axfxae有正根。当有'()30axfxae成立时,显然有0a,此时13ln()xaa，由0x得3a.案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的值为解：当0x，则不论a取何值，0fx显然成立；当10x时，3()310fxaxx可化为，2331axx令2331gxxx，则'4312xgxx，所以gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142gxg，从而4a；当01x时，3()310fxaxx可化为2331axx，'4312xgxx0gx在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而4a，综上4a分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。案例5、（2005湖北卷）已知向量a=(2x,1x)，a=(x1,t)，若baxf)(在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(xf=2x(x1)+(1x)t=3x+2x+tx+t∴)(xf=23x+x2+t.若)(xf在区间(-1,1)上是增函数，则有)(xf≥0t≥23x-x2在(-1,1)上恒成立.若令)(xg=23x-x2=-3(31x)2-31标准文档实用文案在区间[-1,1]上，max)(xg=)1(g=5，故在区间(-1,1)上使t≥)(xg恒成立，只需t≥)1(g即可，即t≥5.即t的取值范围是[5，∞）.利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。案例6、已知函数lg2afxxx，若对任意2,x恒有0fx，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx在2,x上恒成立，即：23axx在2,x上恒成立，设23fxxx，则23924fxx当2x时，max2fx所以2a案例7、已知,1x时，不等式21240xxaa恒成立，求a的取值范围。解：令2xt，,1x0,2t所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出21tftt在0,2t上的最小值即可。22211111124tfttttt11,2tmin324ftf234aa1322a策略二：主次元变换法案例1、.（2009北京卷）设函数()(0)kxfxxek（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；（Ⅲ）若函数()fx在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ），若借助（Ⅱ）的结论入手，须分1111kk或两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。（Ⅲ）解：由题意上恒成立在)1,1(0)1()(xekxxfkx即上恒成立在)1,1(01xkx标准文档实用文案∴110110)1(1kkkk又0k∴k的取值范围是1,00,1.本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。案例2、若不等式2211xmx对满足2m的所有m都成立，求x的取值范围。解：设2121fmmxx，对满足2m的m，0fm恒成立，2221210202021210xxffxx解得：171322x策略三、极值法有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例1.（07全国卷二）已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa解：（1）略23(31)2ytxt．（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：t(0)，0(0)a，a()a，()gt00()gt增函数极大值ab减函数极小值()bfa增函数如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即32()23gttatab=0有三个相异的实数根，标准文档实用文案则有0()0.abbfa，即()abfa．本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0fxxaxa求()fx的单调区间；若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）略（2）因为()fx在1x处取得极大值，所以'2(1)3(1)30,1.faa所以3'2()31,()33,fxxxfxx由'()0fx解得121,1xx。由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，在1x处取得极小值(1)3f。因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，由()fx的单调性可知，)1,3(m案例3.（2008四川卷）．已知x=3函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。分析：（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增加，且当1x或3x时，'0fx所以fx的极大值为116ln29f，极小值为332ln221f因此21616101616ln291ff213211213fef所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一个交点，当且仅当31fbf因此，b的取值范围为32ln221,16ln29。充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法案例1、（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．解析：（Ⅰ）略标准文档实用文案（Ⅱ）)2()1(23)(2aaxaxxf函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于导函数)(xf在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(xf在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(ff，即：0)]2()1(23)][2()1(23[aaaaaa整理得：0)1)(1)(5(2aaa，解得15a案例2、(2004新课程卷)若函数y=31x3－21ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.解：)1()1()1()(2axxaaxxxf令0)(xf，解得x=1或x=a-1，并且a≠2,否则f(x)在整个定义域内单调。由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。∴4≤a-1≤6得5≤a≤7所以a的取值范围是[5,7]应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。策略五、构造新函数法一定分类讨论？娟思考对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。案例1、若2,2x时，不等式23xaxa恒成立，求a的取值范围。解：设23fxxaxa，则问题转化为当2,2x时，fx的最小值非负。（1）当22a即：4a时，min2730fxfa73a又4a所以a不存在；（2）当222a即：44a时，2min3024aafxfa62a又44a42a（3）当22a即：4a时，min270fxfa7a又4a74a