3自由度并联机器人的运动学与动力学分析

机械工程学报JOURNALOFMECHANICALENGINEERING第45卷第8期2009年8月Vol.45No.8Aug.2009DOI：10.3901/JME.2009.08.0113自由度并联机器人的运动学与动力学分析*刘善增1,2余跃庆1佀国宁1杨建新1苏丽颖1(1.北京工业大学机械工程与应用电子技术学院北京100124；2.中国矿业大学机电学院徐州221116)摘要：对一种空间3自由度并联机器人(3-RRS并联机器人)进行运动学和动力学分析。此并联机器人的机构由一个动平台和一个静平台通过3个同样的转动副—转动副—球面副的支链组成。完全描述此并联机器人动平台的位置和姿态需要6个变量，即平台上一参考点的3个位移和3个转角。由于此并联机器人拥有2个转动自由度和1个移动自由度，所以，在动平台的6个位姿变量中只有3个变量是独立的。首先，推导此种并联机器人动平台的6个位姿参数之间的约束关系，给出这些变量之间的解析表达式。然后，基于Lagrange方程建立此并联机器人的动力学模型。在此基础上，通过算例分析驱动构件角速度、驱动力/力矩和能耗的变化规律。这些内容为进一步研究此种空间并联机器人的动态性能、机构优化设计和系统控制等都有非常重要的意义。关键词：并联机器人运动学动力学Lagrange方程位姿中图分类号：TH112TP24KinematicandDynamicAnalysisofaThree-degree-of-freedomParallelManipulatorLIUShanzeng1,2YUYueqing1SIGuoning1YANGJianxin1SULiying1(1.CollegeofMechanicalEngineeringandAppliedElectronicsTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124;2.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou221116)Abstract：Theprimarygoalisthekinematicanddynamicanalysisofaspatial3degree-of-freedomparallelmanipulator(a3-RRSparallelmanipulator).Thearchitectureofthemechanismiscomprisedofamovingplatformattachedtoafixedplatformthroughthreeidenticalrevolute-revolute-sphericaljointedseriallinkages.Acompletedescriptionofthepositionandorientationofthemovingplatformwithrespecttothereferenceframerequiressixvariables,i.e.,thethreeCartesiancoordinatesofareferencepointonthemovingplatformandthreeangles.However,sincetheparallelmanipulatorhastwodegreesoforientationfreedomandonedegreeoftranslatoryfreedom,whichimpliesthatonlythreevariablescanbespecifiedindependently.Firstly,theconstraintequationsdescribingtheinter-relationshipbetweenthesixmotioncoordinatesofthemovingplatformarederived.Closedformsolutionstotheconstraintequationsarefoundwhichprovidetheconstrainedvariablesasfunctionsoftheunconstrained(specified)variables.Somesignificantconclusionsaredrawnfromtheclosedformsolutions.Then,thedynamicequationsoftheparallelmanipulatorarepresentedonthebasisofLagrangeequation.Basedonthedynamicmodel,theangularvelocities,thedrivingforceortorqueandconsumedenergyoftheactuatorsareanalyzedthroughanexample.Theanalysisprovidesnecessaryinformationfordynamicperformanceanalysis,optimaldesignandcontroloftheparallelmechanism.Keywords：ParallelmanipulatorKinematicsDynamicsLagrangeequationPositionandorientation0前言*并联机器人结构的特殊性，使它具有串联机器*国家自然科学基金(50575002,60705036,50875002)、北京市教委科技发展计划(KM200610005003)和北京市自然科学基金(3062004)资助项目。20080823收到初稿，20090201收到修改稿人所不具有的优点，这引起了国际学术界的广泛关注。大多数6-DOF并联机器人以Stewart平台结构为基础，然而，在许多场合应用的机器人只需要部分自由度(2～5自由度)就可以满足使用要求。所以，近年来少自由度并联机器人，尤其是3自由度并联机构成为了机器人技术研究的新热点。3自由度并联机器人与6自由度并联机器人相比具有如下优机械工程学报第45卷第8期期12点：可以满足大多数工业操作的需要，机构的复杂度和成本较低，运动学和动力学模型较简单，控制较容易。因此，3自由度并联机器人具有广阔的应用前景。如1983年，HUNT[1]提出的3-RPS机构，由于它能实现两个转动和一个移动而得到广泛的应用。LEE等[2-3]对3-RPS机构作了运动学和动力学分析，并将此机构直接作为了3自由度机器人操作器的主臂。GOSSELIN等[4]分析了平面3自由度并联机器人运动学最优设计问题。FANG等[5-6]研究了3-RPS并联机构的微分运动学问题，并采用螺旋理论分析了3-RPS、3-RRS和3-TPT等并联机构的瞬时运动特性。FANG等[7]研究了基于3-RSR并联机器人对称结构的3自由度机构的位置显示解析正解。李剑锋[8]基于系统微分运动关系，分析了3-RPS、3-RRS、3-RSR等并联机构的运动学和动力学问题。CARRETERO等[9]分析了3-PRS并联机器人的运动学问题，并利用非线性优化方法对系统的有关参数进行了优化分析。WANG等[10]通过添加配重和弹簧研究了3-RRS并联机器人的静平衡问题。然而，由于少自由度并联机构的种类和数目很多，对少自由度并联机构运动学和动力学特性的认识还很不足。本文基于一种空间3自由度并联机器人(3-RRS并联机器人)的运动学特性，分析了此并联机构的约束方程与位姿关系，给出了6个位姿变量之间的显示表达式，并利用Lagrange方程推导了3-RRS并联机器人的动力学方程，进而对此并联机器人的动力学特性进行了分析。这些研究内容对深刻认识3-RRS并联机器人的动态特性具有重要意义，对研究其他少自由度并联机器人的运动学和动力学问题也具有重要的参考价值。13-RRS并联机器人的运动学分析一种空间3自由度并联机器人的结构简图，如图1所示。它由一个动平台P1P2P3，三条支链BiCiPi(i=1,2,3)和一个静平台(基座)B1B2B3组成。其中，动平台通过球面副(S副)与各支链连接，静平台通过转动副(R副)与各支链连接，且Bi处转动副的轴线与Ci(i=1,2,3)处转动副的轴线对应平行。分别建立与动平台固结的局部(动)坐标系Pxyz和系统(固定)坐标系OXYZ，如图1所示，坐标系的原点P和O分别位于动平台和静平台的几何中心，轴z和Z分别垂直于动、静平台向上，轴x、y与X、Y分别平行和垂直于上、下平台的边P2P3与B2B3。局部定坐标系Bixiyizi(i=1,2,3)的xi轴与Bi处转动副轴线一致，zi垂直于静平台B1B2B3向上，yi轴同时垂直于xi和zi轴。图13-RRS并联机器人示意图设此3-RRS并联机器人的动平台和静平台均为等边三角形，并且动、静平台的几何中心到各个顶点的距离分别为ippl=r，iOBl=R(i=1,2,3)。那么，在系统坐标系OXYZ下，静平台上转动副Bi(i=1,2,3)处的坐标100R⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠B232120RR⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠B332120RR⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠B(1)同理，在局部(动)坐标系Pxyz下，动平台上球面副Pi(i=1,2,3)处的坐标100r⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠p232120rr⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠p332120rr⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠p(2)设从局部动坐标系Pxyz到系统(固定)坐标系OXYZ的变换矩阵0001iiipjjjpkkkpnoaXnoaYnoaZ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠T(3)式中，nm、om、am(m=i,j,k)分别表示坐标系Pxyz中x、y和z轴的三个单位主矢相对于坐标系OXYZ的方向余弦，(XpYpZp)T是P点在系统坐标系OXYZ下的位置坐标。那么，在系统坐标系OXYZ下，动平台上球铰中心处Pi(i=1,2,3)点的坐标可以表示为月2009年8月刘善增等：3自由度并联机器人的运动学与动力学分析1311iiXYZxyz⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠PpT(4)式中，Pi和pi分别表示动平台P1P2P3上球铰中心处点Pi(i=1,2,3)在系统坐标系OXYZ和局部动坐标系Pxyz中的位置矢量。由于此并联机构中的三个支链B1C1P1、B2C2P2和B3C3P3均分别受到两个相互平行的转动副约束，所以，此并联机器人动平台P1P2P3上球铰中心处P1、P2和P3点的运动轨迹只能分别位于三个垂直平面内，由此导出系统的三个约束方程为0X=(5a)33YX=(5b)33YX=−(5c)联合式(2)～(5)，可以得到0iporX+=(6)()32323pjjpiiYnrorXnror−−=−−(7)()33232jjpiipnrorYornrX−+=−−(8)把式(6)～(8)联立并作进一步化简，可得到机构的约束方程为()2pipjiijXorrYonon=−⎧⎪⎪=−⎨⎪=⎪⎩(9)取Z-Y-X型欧拉角(α,β,γ)表示动平台P1P2P3的姿态[11]，则式(3)可以表示为1324coscossincossincossincoscos0001pppTTXTTYZαβαβββγβγ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠T(10)式中1cossinsinsincosTαβγαγ=−2sinsinsincoscosTαβγαγ=+3cossincossinsinTαβγαγ=+4sinsincoscossinTαβγαγ=−联立式(9)、(10)，可以得到sincos(sinsinsincoscos2coscos)arctan(sinsin/(coscos))ppXrrYαβαβγαγαβαβγβγ=−⎧⎪⎪=+−⎪⎨⎪⎪=+⎪⎩(11)分析式(11)，可以得出如下结论。(1)Zp是唯一的完全独立的变量，它与其他