2020中考数学大一轮复习课件19：等腰三角形

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第六单元三角形第19课时等腰三角形考点梳理考点1等腰三角形[核心考点]定义有两条边的三角形叫做等腰三角形．其中相等的叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做，腰与底边的夹角叫做底角．性质(1)等腰三角形的两个相等．(2)等腰三角形的、、互相重合(简称为“三线合一”)．(3)等腰三角形是一个轴对称图形，它至少有条对称轴．相等两边顶角底角顶角平分线底边上的中线底边上的高一判定如果一个三角形有个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).注意：要正确区别等腰三角形的性质和判定．“性质”指的是由边相等得出角相等，即“等边对等角”；而“判定”指的是根据一些条件来判定三角形是不是等腰三角形，即最后得出边相等．两考点2等边三角形定义三条边都的三角形叫做等边三角形．性质(1)等边三角形的三个内角，并且每一个内角都等于.(2)等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴．判定(1)有一个角等于60°的三角形是等边三角形．(2)三边或三个角都的三角形是等边三角形.注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形．相等相等60°三等腰相等相关规律：(1)边长为a的等边三角形的面积等于34a2；(2)等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点．【易错提醒】求等腰三角形腰上的高，在所给条件不能确定三角形的形状时，一般应分顶角为锐角或钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部．考点3线段的垂直平分线[核心考点]定义经过线段的与这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离．判定与一条线段两个端点距离的点，在这条线段的垂直平分线上.注意：线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在．中点垂直相等相等归类探究类型之一等腰三角形的性质1(2018·达州)如图19­1，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M.若BC＝7，则MN的长度为()C图19­1A．32B．2C．52D．3【解析】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE.在△BNA和△BNE中，∠ABN＝∠EBN，BN＝BN，∠ANB＝∠ENB，∴△BNA≌△BNE(ASA)，∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形．同理，可得△CAD是等腰三角形，∴N是AE的中点，M是AD的中点，∴MN是△ADE的中位线．∵BE＋CD＝AB＋AC＝19－BC＝19－7＝12，∴DE＝BE＋CD－BC＝12－7＝5，∴MN＝12DE＝52.故选C.【点悟】1.判定等腰三角形的一般思路是“证明两边相等”和“等角对等边”两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，因此可以结合平行线的性质或三角形全等来解决．2．遇等腰三角形，要充分利用两底角相等、两腰相等的性质．3．等腰三角形的“三线合一”的性质应用广泛，它是证明两角相等、两线段相等以及两条直线垂直的重要依据．如图19­2，在△ABC中，AB＝AC.图19­2(1)若AD⊥BC，则BD＝CD，∠1＝∠2；(2)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠1＝∠2；(3)若∠1＝∠2，则AD⊥BC，BD＝CD.【变式训练】1．(2018·宿迁)若实数m，n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是()A．12B．10C．8D．6B【解析】∵|m－2|＋n－4＝0，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边长分别为2,2,4，不符合三角形三边关系定理；当n＝4作腰时，三边长分别为2,4,4，符合三角形三边关系定理，则周长为2＋4＋4＝10.故选B.2．(2019·怀化)若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为.36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°，∴这个等腰三角形的顶角为180°－72°×2＝36°.3．(2019·眉山)如图19­3，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是CD的中点，AE＝BE.求证：∠D＝∠C.图19­3证明：∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA.∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA，∴∠DEA＝∠CEB.在△EDA和△ECB中，DE＝CE，∠DEA＝∠CEB，AE＝BE.∴△EDA≌△ECB(SAS)，∴∠D＝∠C.类型之二等边三角形的判定与性质2(2018·玉林)如图19­4，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是()A图19­4A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【解析】∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°.①当点C在线段OB上时，如答图①.∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，例2答图①在△AOC和△ABD中，OA＝BA，∠OAC＝∠BAD，AC＝AD，∴△AOC≌△ABD(SAS)，∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°－∠ABO－∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA.例2答图②②当点C在OB的延长线上时，如答图②，同①的方法，得出OA∥BD.故选A.【变式训练】4．(2017·南充)如图19­5，等边三角形AOB的边长为2，则点B的坐标为()A．(1,1)B．(3，1)C．(3，3)D．(1，3)D图19­5【解析】如答图，过点B作BC⊥AO于点C.变式训练4答图∵△AOB是等边三角形，∴OC＝12AO＝1，∴在Rt△BOC中，BC＝OB2－OC2＝3，∴B(1，3)．故选D.5．(2018·湘潭)如图19­6，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝.图19­630°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC.又∵D是边BC的中点，∴∠BAD＝12∠BAC＝30°.6．(2018·嘉兴)如图19­7，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．图19­7证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥BC.∴∠DEA＝∠DFC＝90°.∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形．类型之三线段的垂直平分线3如图19­8，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10cm，试求出△PAO的周长；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由．图19­8解：(1)∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AO＝CO，∴△PAO的周长为AP＋PO＋AO＝BP＋PO＋CO＝BC.∵BC＝10cm，∴△PAO的周长为10cm.(2)∵AB＝AC，∠BAC＝110°，∴∠B＝∠C＝12×(180°－110°)＝35°.∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AO＝CO，∴∠BAP＝∠B＝35°，∠CAO＝∠C＝35°，∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝110°－35°－35°＝40°.(3)能．∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵MP，NO分别垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AO＝CO，∴∠BAP＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝110°－70°＝40°.【点悟】当题中出现“垂直平分”或题目中有垂直、且垂足是中点时，要联想到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”的性质．【变式训练】7．(2018·黄冈)如图19­9，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为()图19­9BA．50°B．70°C．75°D．80°【解析】在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°－60°－25°＝95°.∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.故选B.课时作业图19­11．(2019·北部湾)如图19­1，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()CA．40°B．45°C．50°D．60°【解析】由作法得CG⊥AB.∵AC＝BC，∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B.∵∠ACB＝180°－40°－40°＝100°，∴∠BCG＝12∠ACB＝50°.故选C.2．(2017·包头)若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cmA【解析】若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10－2－2＝6(cm)，2＋26，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边长，则腰长为(10－2)÷2＝4(cm)，此时三角形的三边长分别为2cm,4cm,4cm，符合三角形的三边关系．故选A.3．(2018·南充)如图19­2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为()A.12B．1C．32D．3B图19­2【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD＝AD.∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CBD为等边三角形，∴CD＝BC＝2.∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF＝12CD＝1.故选B.4．(2018·湖州)如图19­3，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°B图19­3【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC.∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝35°.故选B.5．(2018·福建)如图19­4，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于()A．15°B．30°C．45°D．60°A图19­4【解析】∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即AD是BC的垂直平分线．∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.故选A.6．(2018·成都改编)若等腰三角形的一个顶角为50°，则它的底角的度数为.65°【解析】∵等腰三角形的底角相等，∴(180°－50°)÷2＝65°，∴底角为65°.7．(2018·桂林)如图19­5，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是.3图19­5【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝180°－36°2＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴在△BDC中，∵∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．8．(2018·长春)如图19­6，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为.图19­637°【解析】∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ACB＝(180°－32°)÷2＝74°.由尺规