与圆有关的证明与计算

与圆有关的证明与计算1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在AC、BC、AB的边上，以AF为直径的⊙O恰好经过点D、E，且DE＝EF.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，求CECD的值．第1题图(1)证明：如解图，连接OD，OE，DF，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵∠C＝90°，∴DF∥BC，∵DE＝EF，∴DE︵＝EF︵，∴OE⊥DF，∴OE⊥BC，∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵∠B＝30°，且OE⊥BC，∴∠BOE＝60°，∵OE＝OF，∴△OEF是等边三角形，∴∠OEF＝60°，又∵DE＝EF，OE⊥DF，∴∠OED＝∠OEF＝60°，∴∠CED＝30°，∴∠CDE＝60°，在Rt△CDE中，∵tan∠CDE＝tan60°＝CECD＝3，∴CECD＝3.2．如图，在Rt△BGF中，∠F＝90°，AB是⊙O的直径，⊙O交BF于点E，交GF于点D，AE⊥OD于点C，连接BD.(1)求证：GF是⊙O的切线；(2)若OC＝2，AE＝43，求∠DBF的度数．第2题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又∵∠F＝90°，∴∠AEB＝∠F，∴AE∥GF，∵AE⊥OD，∴OD⊥GF，∵OD是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线；(2)解：∵OD⊥AE，∴AC＝CE＝12AE＝23，∵OA＝OB，∴OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝4，∴在Rt△AOC中，OA＝OC2＋AC2＝22＋（23）2＝4，∵∠CEF＝∠DCE＝∠F＝90°，∴四边形CDFE是矩形，∴DF＝CE＝23，EF＝CD＝OD－OC＝4－2＝2，∴BF＝BE＋EF＝4＋2＝6，∴tan∠DBF＝DFBF＝236＝33，∴∠DBF＝30°.3．如图，点C是⊙O的直径AB的延长线上一点，点D在⊙O上，且∠DAC＝30°，∠BDC＝12∠ABD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OF∥AD分别交BD、CD于点E、F，BD＝2，求OE、CF的长．第3题图(1)证明：如解图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠DAC＝30°，∴∠ABD＝60°，∴∠BDC＝12∠ABD＝30°.∵OD＝OB，∴∠ODB＝60°，∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°，即OD⊥DC，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第3题解图(2)解：∵OF∥AD，∠ADB＝90°，∴OF⊥BD，∠BOE＝∠A＝30°，∵OD＝OB，∴DE＝BE＝12BD＝1.∵在Rt△OEB中，∠BOE＝30°，∴OB＝2BE＝2，∴OE＝OB2－BE2＝22－12＝3.∵OD＝OB＝2，∠C＝∠ABD－∠BDC＝30°，∠DOF＝30°，∴CD＝ODtan30°＝23，DF＝OD·tan30°＝233，∴CF＝CD－DF＝23－233＝433.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AB＝6，sin∠BAC＝23，求BE的长．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DO∥BC，∵∠ACB＝90°，∴∠ADO＝90°，即AC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；第4题解图(2)解：设⊙O的半径为R，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠BAC＝BCAB＝23，∵AB＝6，∴BC＝ABsin∠BAC＝6×23＝4，由(1)知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴ODBC＝AOAB，∴R4＝6－R6，解得R＝125，如解图，过点O作OF⊥BC于点F，则BE＝2BF，OF∥AC，∴∠BOF＝∠BAC，∴sin∠BOF＝BFOB＝23，∴BF＝23×125＝85，∴BE＝2BF＝165.5.如图，等腰△ACD内接于⊙O，其中AC＝CD，AB是⊙O的直径，连接BC，BD，过点C作BD的垂线，分别交AB、DB的延长线于点E、F.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AB＝5，BD＝3，求CE的长．第5题图(1)证明：如解图，连接CO并延长交AD于点M，∵AC＝CD，∴AC︵＝CD︵，∴CM⊥AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥DF，∴CM∥DF，即OC∥DF，∵DF⊥CE，∴OC⊥CE，又∵OC是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；第5题解图(2)解：∵在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，∴AD＝AB2－BD2＝4，∵OC∥DF，∴∠COE＝∠ABD，∵∠ADB＝∠OCE＝90°，∴△ABD∽△EOC，∴ADCE＝BDOC，即4CE＝352，∴CE＝103.6.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的半圆O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若半圆O的半径为2，BE＝1，求CF的长．第6题图(1)证明：如解图，连接OD、AD，∵AC是半圆O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴DC＝BD.∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，又∵OD为半圆O的半径，∴DE是⊙O的切线；第6题解图(2)解：∵∠ODF＝∠AEF，∠F＝∠F，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE＝OFAF，∵OD为△CAB的中位线，∴AB＝2OD＝4，∴AE＝AB－BE＝3，∴23＝OFOF＋2，解得OF＝4，∴CF＝OF－OC＝2.7.如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)若BD＝6，CD＝8，求⊙O的半径．第7题图(1)证明：如解图，连接OE，∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切；第7题解图(2)解：在Rt△BCD中，BD＝6，CD＝8，∴BC＝10，∴AB＝10.∵OE∥BD，∴△AOE∽△ABD，∴AOAB＝OEBD，设⊙O的半径为r，则有10－r10＝r6，解得r＝154，∴⊙O的半径为154.8.如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若BC＝4，求DE的长．第8题图(1)证明：如解图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；第8题解图(2)解：如解图，连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠A＝30°，AC＝BC＝4，∴AD＝AC·cos30°＝4×32＝23，∴DE＝12AD＝3.9.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F.(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若AE＝42，∠CDF＝22.5°，求劣弧AE︵的长．第9题图(1)证明：如解图，连接AD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，∵O是AB的中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF.∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；第9题解图(2)如解图，连接OE，∵∠ADC＝90°，∠DFC＝90°，∴∠DAC＋∠C＝90°，∠CDF＋∠C＝90°，∴∠DAC＝∠CDF＝22.5°，∵AB＝AC，D是BC中点，∴∠BAC＝2∠DAC＝2×22.5°＝45°，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°，∴∠AOE＝90°，∵AE＝42，∴OA＝OE＝4，∴lAE︵＝90π·4180＝2π.10.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过点B、C、D，连接CD，且∠B＝∠ACD＝45°，连接OD交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求证：△BDE∽△CAD；(3)若∠DCB＝30°，求CDBC的值．第10题图(1)证明：如解图，连接OC，∵∠ABC＝45°，∴∠DOC＝90°，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴∠OCD＝45°，又∵∠ACD＝45°，∴∠OCD＋∠ACD＝45°＋45°＝90°，即∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；第10题解图(2)证明：由(1)知，OC⊥AC，∠DOC＝90°，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠A，又∵∠B＝∠ACD＝45°，∴△BDE∽△CAD；(3)解：如解图，过点D作DH⊥BC于点H，设⊙O的半径为r，则CD＝2r，在Rt△CDH中，∵∠DCH＝30°，∴DH＝12CD＝22r，CH＝CD·cos30°＝2r×32＝6r2，在Rt△BDH中，∵∠B＝45°，∴BH＝DH＝22r，∴BC＝BH＋CH＝2＋62r，∴CDBC＝2r6＋22r＝23＋1＝3－1.