现代信号处理第4章循环平稳信号分析

思考题22.信号处理涉及的领域有哪些？学习信号处理需要的知识都有什么？信号处理在现代机械工程领域都有那些应用及如何应用的？2020/4/10现代信号处理技术及应用第四章循环平稳信号分析第四章循环平稳信号分析4.1循环平稳信号的定义4.2信号的循环统计量4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.4循环平稳信号处理的工程应用引言在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用，最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、四阶等高阶统计量。在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循环平稳信号。具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。引言机械循环平稳信号具有以下特点：(1)正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量基本不随时间变化。(2)故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。(3)统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法，对机械故障诊断具有重要的意义。4.1循环平稳信号的定义严格意义上的循环平稳信号是指时间序列具有周期时变的联合概率密度函数011(,)(,)NNiiiipxtpxtnT循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数011{()}{()}NNiiiiExtExtnTN阶循环平稳过程的定义：若随机过程从一阶到N阶的各阶时变统计量都存在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同），则称该随机过程为N阶循环平稳过程。(4.1.1)(4.1.2)4.1循环平稳信号的定义具有周期变化的统计量称为循环统计量。循环统计理论的研究迅速发展是在20世纪80年代中期。对二阶循环统计量研究最有影响的是W.A.Gardner(加德纳），他提出了谱相关理论和冗余概念。近几年，随着高阶循环统计量这一数学工具诞生，循环平稳信号的研究也从二阶发展到了高阶。上海交大的陈进、姜鸣等分析了高阶循环统计量理论在谐波恢复、系统辨识、特征提取等中的应用，指出将高阶循环统计量理论应用于机械设备的状态监测和故障诊断领域具有重要意义。4.2信号的循环统计量4.2.1一阶循环统计量4.2.2一阶循环统计量—循环均值4.2.3二阶循环统计量—循环自相关函数4.2.4功率谱密度函数4.2.1一阶循环统计量循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量，并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号，抽取信号时变统计量中的周期信息。循环统计量的一般表达式为210()lim(,)TjtxkxkTTCctedt(4.2.1)一阶循环统计量对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率（包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个，所有循环频率的总体构成循环频率集循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循环平稳特性。循环基频011(,)(,)NNiiiipxtpxtnT0/nT循环频率从物理意义上讲，与傅里叶变换中的频率一样，都表示信号的频率4.2.2一阶循环统计量—循环均值循环平稳过程的一阶循环统计量是指信号的均值是时间的周期函数。00()cos(2)()xtxftnt0000()()cos(2)()cos(2)xmtExtExftEntxft可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均来估计其均值01()lim()21NxNnNMtxtnTN的统计平均(4.2.2)(4.2.4)(4.2.3)一阶循环统计量—循环均值可以看出式(4.2.4)是T0的周期函数,2()jtxxmMtMe00/22/201()TjtxxTMMtedtT将式（4.2.4）代入式（4.2.6）中，00/220/20/222/21lim()(21)1lim()()NTjtxTNnNTjtjttTTMxtnTedtNTxtedtxteT傅里叶展开其中(4.2.5)(4.2.6)(4.2.7)一阶循环统计量—循环均值4.2.3二阶循环统计量—循环自相关函数对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以写成(;){()(xRtExtxt假定此时变自相关函数具有周期性，并且周期为T0，则可以用时间平均将相关函数写成001(;)lim()()(21)NxNnNRtxtnTxtnTN0/mT取，相关函数的傅里叶展开为0(2/)2(;)((jTmtjtxxxmmRtReRe(4.2.9)(4.2.10)二阶循环统计量—循环自相关函数上式（4.2.10）中的傅里叶系数称为循环自相关函数00/22/201()(;)TjtxxTRRtedtT将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得0000/2*200/20/2*200/2011()lim()()211lim()()(21)NTjtxTNnNNTjtTNnNRxtnTxtnTedtTNxtnTxtnTedtNT将上式改写成2*22*21()lim()()()()TjtxTTjttRxtxtedtTxtxte（4.2.11）（4.2.12）（4.2.13）二阶循环统计量—循环自相关函数幅值调制信号为例对循环自相关函数的性能作仿真分析0()(1cos(2))cos(2)cxtAftft2000201cos(2)1cos(2)=0;22cos(2)cos(2)=;2cos(2)=2;2()14cccxAffAfffAffRe222002201cos(2)=2;2cos(2)=(2);4=(22);16jccjcjcAffAefffAeff（4.2.14）二阶循环统计量—循环自相关函数从图中可以看出调制频率0f=10Hz及其2倍频被清晰地分离出来了，在解调谱上还存在着以2倍载波频率120Hz为中心，以调制频率10Hz及其2倍频为边频带的调制信息，解调结果满足式（4.2.9）二阶循环统计量—循环自相关函数循环自相关函数三维图及其切片图从图中可以比较粗略地观察到循环频率信息分布在循环频率域高、低两个不同的频段。高频段的循环频率范围大致为100~150Hz，低频段的循环频率范围大致为0~30Hz。4.2.4功率谱密度函数对于平稳的随机信号来说，其自相关函数与功率谱密度函数是一对傅里叶变换对，通过功率谱密度函数可以描述信号二阶统计量的数字特征。同样，对于循环平稳信号，其循环自相关函数与循环谱密度函数也是一对傅里叶变换对。根据维纳-辛钦关系，循环谱密度（CyclicSpectrumDensity，简写CSD）如式（4.2.17）所示。2()()jfxxSfRed（4.2.17）功率谱密度函数为了更加清楚的说明循环谱密度的特性，取信号模型0()()cos(2)xtatft其中，a(t)为零均值的平稳随机信号，满足条件2()0(/2)(/2)0()0(/2)(/2)00ttjttjttatatatateatate功率谱密度函数由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度为002011()()=0;441()()=2;40aajxaSffSffSfeSff其它功率谱密度函数给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示在循环频率的低频段和高频段都可以解调出调幅信号的调制源。功率谱密度函数循环谱切片图，从图中可以发现有明显的调制现象，调制中心频率为载波频率60Hz，边带宽度为10Hz，正好是调制频率，从图中可以看到循环频率的低频和高频信息，循环频率的低频信息只包含调制频率，高频信息既包含调制频率又包含载波频率。与循环谱密度函数相比，切片图消除了2倍调制频率的作用，使调制频率和载波频率更加清楚。从图中看不到调制现象和循环频率α＝110Hz对应的载波频率成分55Hz，说明α＝110Hz时的切片图反映不出调制信息。该切片图实际上对应着信号的功率谱密度函数。功率谱密度函数循环谱密度函在频率域内的信息和循环频率域内的信息具有谱相关特性。对于调幅信号，载波信息在频率域内的值与其自身相等，而在循环频率域内的频率信息是其载波频率的2倍。而调制频率在频率域和循环频率域内的值没有变化。利用循环频率与频率之间的相关特性，用切片图可以将有用的信息提取出来并进而分析频率信息特征。4.3基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析4.3.1调频信号的解调分析4.3.2多载波调频信号的解调4.3.3多调制源调幅信号的解调4.3.4多载波调幅信号的解调4.3.5循环相关解调法识别信号有用信息和混频信息的规律4.3.1调频信号的解调分析)]2sin(2cos[)(tftfAtxnz在循环频率的低频段(0~50Hz)分布着调制频率及其各倍频（主要包括三倍频以内）信息；循环频率的高频段(150~250Hz)分布着以2倍载波频率为中心，以调制频率及其各倍频为边频带的信息。反映的是循环谱密度函数频率域内的信息，可以清楚的看到100Hz的载波信息和单一的10Hz调制边带信息，克服了循环谱中边频带信息多的缺点。反映的是循环谱密度函数在循环频率域内的信息。从两张切片图中可以发现频率域内的100Hz的载波频率与循环频率内的200Hz的循环频率成分相对应。表现出了谱相关特性。4.3.2多载波调频信号的解调1020()cos(2sin(2))cos(2sin(2))ccxtftftftft图4.3.4是该循环自相关函数低频段（0~70Hz）的循环谱，可以清楚地看到调制频率为8.5Hz的调制边频带。因为循环谱密度函数在循环频率的低频段只包含调制信息，不包含载波信息，所以可以确定此8.5Hz的频率成分即为调制频率。从图4.3.5中可以看出，在循环频率229Hz两边各自分布着7条以8.5Hz为调制频率的边频带，似乎载波频率就是114.5Hz，但是在循环频率α=229Hz的循环谱切片图（图4.3.6）中，中心频率114.5Hz两边的边频带信息特征比较复杂，幅值变化没有规律，表现出混频的信号特征多载波调频信号的解调从图4.3.7和4.3.8中，可以看到97.5Hz和131.5Hz的载波频率，其两边分别对称分布着8.5Hz的调制边带，因为中心频率97.5Hz和131.5Hz的幅值较低，两边的边频带又多于两个，所以是调频信号。比较图4.3.7和图4.3.8这两个切片图还可以发现，其调制边频带的数量和幅值几乎完全相同，这是因为两个载波频率受到同一调频系数β=1.5的作用，所受的频率调制程度相同。所以利用切片图可以将各个载波频率和其所受的调制频率信息单独的分离开来加以剖析，这是其它解调分析方法所没有的特性。根据以上分析可以确定114.5Hz的频率成分不是载波频率。载波频率分别是97.5Hz和131.5Hz图4.3.9多载波调频信号(α=237.5Hz)循环谱切片图图4.3.9反映了该信号调制边频带信息，在该切片图上