正余弦定理综合习题及答案

正余弦定理综合1.（2014天津）在ABCD中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cosA的值为_______.2.（2014广东）.在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,，已知bBcCb2coscos，则ba.3.已知ABC的内角21)sin()sin(2sin,BACCBAACBA满足，，面积满足CBAcbaS,,,,21分别为，记所对的边，则下列不等式成立的是（）A.8)(cbbcB.)(caacC.126abcD.1224abc4.（2014江苏）若△ABC的内角满足CBAsin2sin2sin,则Ccos的最小值是。5.（2014新课标二）钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=()A.5B.5C.2D.16、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值。（仰角为直线AP与平面ABC所成角）7．(2011·天津)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.33B.36C.63D.668.（2014浙江）本题满分14分）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知,3abc，22cos-cos3sincos-3sincos.ABAABB（I）求角C的大小；（II）若4sin5A，求ABC的面积.9、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．10、(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝14b2.(1)当p＝54，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．11、在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．12、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且274sincos222ABC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinsinAB的最大值．正余弦定理综合答案1、解：14-2、23、A4、64-25、B6、5397、D8、解：（I）由题意得，1cos21cos233sin2sin22222ABAB，即3131sin2cos2sin2cos22222AABB，sin(2)sin(2)66AB，由ab得，AB，又0,AB，得2266AB，即23AB，所以3C；（II）由3c，4sin5A，sinsinacAC得85a，由ac，得AC，从而3cos5A，故433sinsinsincoscossin10BACACAC，所以ABC的面积为18318sin225SacB．9、解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.10、解(1)由题设并由正弦定理，得a＋c＝54，ac＝14，解得a＝1，c＝14或a＝14，c＝1.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－12b2－12b2cosB，即p2＝32＋12cosB.因为0cosB1，所以p2∈32，2，由题设知p0，所以62p2.11、解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．12\解：（Ⅰ）∵A、B、C为三角形的内角，∴CBA．∵274sincos222ABC，三角形中角的大小关系∴272cos2cos42CC．…………2分∴27)1cos2(2cos142CC．即021cos2cos22CC．……4分∴21cosC．又∵C0，∴3C．…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32BA．∴)32sin(sinsinsinAABA角度变换AAAsin32coscos32sinsin)6sin(3cos23sin23AAA．…10分∵320A，∴6566A．∴当26A，即3A时，BAsinsin取得最大值为3．…………13分