2015-2017年高考文科数学试题汇编--导数与单调性

1.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数()yfx的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为0x，且图象在0x两侧附近连续分布于轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数)('xf的正负，得出原函数)(xf的单调区间．2【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是()A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A函数()ln(1)ln(1)fxxx，函数的定义域为（-1，1），函数()ln(1)ln(1)()fxxxfx所以函数是奇函数．2111'111fxxxx，在（0,1）上'0fx，所以()fx在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()fx在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求'fx；(2)确认'fx在(a，b)内的符号；(3)作出结论：'0fx时为增函数；'0fx时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2014全国2，文11】若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则的取值范围是（）（A）,2（B）,1（C）2,（D）1,【答案】D【考点定位】函数的单调性.【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时端点值能否取到认真判断．4.【2016高考新课标1文数】若函数1()sin2sin3fxx-xax在,单调递增,则a的取值范围是（）（A）1,1（B）11,3（C）11,33（D）11,3【答案】C试题分析：21cos2cos03fxxax…对xR恒成立,故2212cos1cos03xax…,即245coscos033axx…恒成立,即245033tat…对1,1t恒成立,构造24533fttat,开口向下的二次函数ft的最小值的可能值为端点值,故只需保证11031103ftft……,解得1133a剟．故选C．考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.学！5.【2014湖南文9】若1201xx，则（）A.2121lnlnxxeexxB.2121lnlnxxeexxC.1221xxxexeD.1221xxxexe【答案】C【考点定位】导数单调性【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.6.【2017课标1，文21】已知函数()fx=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()0fx，求a的取值范围．【答案】（1）当0a，)(xf在(,)单调递增；当0a，()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增；当0a，()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增；（2）34[2e,1]．试题分析：（1）分0a，0a，0a分别讨论函数)(xf的单调性；（2）分0a，0a，0a分别解0)(xf，从而确定a的取值范围．试题详细分析：（1）函数()fx的定义域为(,)，22()2(2)()xxxxfxeaeaeaea，①若0a，则2()xfxe，在(,)单调递增．②若0a，则由()0fx得lnxa．当(,ln)xa时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，所以()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增．③若0a，则由()0fx得ln()2ax．当(,ln())2ax时，()0fx；当(ln(),)2ax时，()0fx，故()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增．（2）①若0a，则2()xfxe，所以()0fx．②若0a，则由（1）得，当lnxa时，()fx取得最小值，最小值为2(ln)lnfaaa．从而当且仅当2ln0aa，即1a时，()0fx．③若0a，则由（1）得，当ln()2ax时，()fx取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242aafa．从而当且仅当23[ln()]042aa，即342ea时()0fx．综上，的取值范围为34[2e,1]．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值．7.【2017课标II，文21】设函数2()(1)xfxxe.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fxax，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增（Ⅱ）[1,)20000()(1)(1)1fxxxax.试题详细分析：（1）2()(12)xfxxxe令()0fx得12x当(,12)x时，()0fx；当(12,12)x时，()0fx；当(12,)x时，()0fx所以()fx在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增(2)()(1)(1)xfxxxe当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在0，+∞)单调递减，而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1当0＜x＜1，2()(1)(1)fxxx，22(1)(1)1(1)xxaxxaxx，取05412ax则2000000(0,1),(1)(1)0,()1xxxaxfxax故当0a时，取20000051,()(1)(1)112xfxxxax综上，a的取值范围1，+∞）【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.8.【2017课标3，文21】已知函数()fx=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a﹤0时，证明3()24fxa．【答案】（1）当0a时，)(xf在),0(单调递增；当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减；（2）详见解+析试题详细分析：（1）)0()1)(12(1)12(2)('2xxxaxxxaaxxf，当0a时，0)('xf，则)(xf在),0(单调递增，当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）由（1）知，当0a时，)21()(maxafxf，121)21ln()243()21(aaaaf，令tty1ln（021at），则011'ty，解得1t，∴y在)1,0(单调递增，在),1(单调递减，∴0)1(maxyy，∴0y，即)243()(maxaxf，∴243)(axf.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hxfxgx.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.9.【2017天津，文19】设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb，()e()xgxfx.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx和exy的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()fx在0xx处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式()exgx在区间00[1,1]xx上恒成立，求b的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a，(4,)a，递减区间为(),4aa.（2）（ⅰ）()fx在0xx处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是[7],1.1fxfa在[1,1]aa上恒成立，得32261baa，11a，再根据导数求函数的取值范围.试题详细分析：（I）由324()63()fxxaxxab，可得2()3123()3()((44))f'xxaxaaxxa，令()0f'x，解得xa，或4xa.由||1a，得4aa.当变化时，()f'x，()fx的变化情况如下表：(,)a(),4aa(4,)a()f'x()fx所以，()fx的单调递增区间为(,)a，(4,)a，单调递减区间为(),4aa.（II）（i）因为()e(()())xxxg'ff'x，由题意知0000()e()exxxxgg'，所以0000000()eee(()())exxxxfffx'xx，解得00()1()0f'xxf.所以，()fx在0xx处的导数等于0.（ii）因为()exgx，00[11],xxx，由e0x，可得()1fx.又因为0()1fx，0()0f'x，故0x为()fx的极大值点，由（I）知0xa.另一方面，由于||1a，故14aa，由（I）知()fx在(,)1aa内单调递增，在(),1aa内单调递减，故当0xa时，()()1ffxa在[1,1]aa上恒成立，从而()exgx在00,[11]xx上恒成立.由32()63()14aafaaaab，得32261baa，11a.令32()261txxx，[1,1]x，所以2()612t'xxx，令()0t'x，解得2x（舍去），或0x.因为(1)7t，(1)3t，(0)1t，故()tx的值域为[7],1.所以，的取值范围是[7],1.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出0xa，同时根据