一次函数复习专题

..一次函数复习专题【基础知识回顾】一、一次函数的定义:一般的：如果y=（），那么y叫x的一次函数特别的：当b=时，一次函数就变为y=kx(k≠0)，这时y叫x的【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-bk，0）的一条，正比例函数y=kx的同象是经过点和的一条直线。【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数y=kx(k≠0)，当k0时，其同象过、象限，此时时y随x的增大而；当k0时，其同象过、象限，时y随x的增大而。3、一次函数y=kx+b，图象及函数性质①、k0b0过象限②、k0b0过象限③、k0b0过象限④、k0b0过象限4、若直线l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2平行，则k1k2，若k1≠k2，则l1与l2【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于的符号与无关，而直线的平移，只改变的值的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y=kx+b中的字母与的值步骤：1、设一次函数表达式2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x=或y代入y=kx+b中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。2、一次函数与一元一次不等式：kx+b0或kx+b0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方y随x的增大而y随x的增大而..程组解的问题】五、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量2、建立一次函数关系式3、确定自变量的取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1（2015•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（-1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0D．y的值随x值的增大而增大对应训练1．（2015•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）A．y=2x+8B．y=-2+4xC．y=-2x+8D．y=4x考点二：一次函数的图象和系数的关系例2（2015•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞2D．m＜2例3（2015•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-12x图象上的两点，下列判断中，正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2对应训练2．（2015•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．..C．D．3．（2015•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）A．a＞0B．a＜0C．b=0D．ab＜0考点三：一次函数解析式的确定例4（2015•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k=，b=．对应训练4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2xB．y=-2xC．y=12xD．y=-12x考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5（2015•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜32B．x＜3C．x＞32D．x＞3例6（2015•荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（）进球数012345..人数15xy32A．y=x+9与y=23x+223B．y=-x+9与y=23x+223C．y=-x+9与y=-23x+223D．y=x+9与y=-23x+223思路分析：根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案．解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49-5-3×4-2×5=22，整理得：y=-23x+223，∵20人一组进行足球比赛，∴1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=-x+9．故选C．点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式．对应训练5．（2015•武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．6．（2015•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是．考点五：一次函数综合题例7（2015•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．..（1）C（0，6）；（2）∴直线MN的解析式为y=-34x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根据题意知B（8，6）．∵点P在直线MNy=-34x+6上，∴设P（a，-34a+6）如图，当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；②当PC=BC时，a2+（-34a+6-6）2=64，解得，a=±325，则P2（-325，545），P3（325，65）；③当PB=BC时，（a-8）2+（-34a+6-6）2=64，解得，a=25625，则-34a+6=-4225，∴P4（25625，-4225）．综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（-325，545），P3（325，65），P4（25625，-4225）．对应训练7．（2015•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（3+1）x+3=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．..7．解：（1）x2-（3+1）x+3=0，（x-3）（x-1）=0，解得x1=3，x2=1，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=3，∴A（1，0），B（0，3），∴AB=2，又∵AB：AC=1：2，∴AC=4，∴C（-3，0）；（2）由题意得：CM=t，CB=23．①当点M在CB边上时，S=23-t（0≤t＜23）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t-23（t＞23）；（3）存在，Q1（-1，0），Q2（1，-2），Q3（1，2），Q1（1，233）．考点六：一次函数的应用例8（2015•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？..对应训练8．（2015•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．【聚焦山东中考】1．（2015•菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（）A．第二、四象限B．第一、二、三象限C．第一、三象限D．第二、三、四象限2．（2015•潍坊）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y=kx图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2015•潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=-1时，y＞0．则b的取值范围是．4．（2015•泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7B．3＜m＜4C．m＞1D．m＜45．（2015•威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而..行．图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（）A．乙摩托车的速度较快B．经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C．经过0.25小时两摩托车相遇D．当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地503km6．（2015•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）102030y（单位：万元∕台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）6．解：（1）∴y=-12x+65．∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，∴10≤x≤70；（2）由题意，得xy=2000，-12x2+65x=2000，..-x2+130x-4000=0，解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．答：该机器的生产数量为50台；（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ka+b，由函数图象，得35551575kbkb，解得：-190kb，∴z=-a+90．当z=25时，a=65．当x=50时，y=40总利润为：25（65-40）=625万元．答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．7．（2015•滨州）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=-15x垂直的直线